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9.已知三棱柱ABC一A1B1C1的側(cè)棱垂直于底面,各頂點都在同一球面上,若該棱柱的體積為26,AB=2,AC=1,∠BAC=60°,則此球的體積等于( �。�
A.36πB.72πC.144πD.288π

分析 根據(jù)題意,畫出圖形,結(jié)合圖形求出三棱柱的高,判斷底面△ABC是直角三角形;連接上下底面中心,得出外接球的球心與半徑,根據(jù)三角形的邊角關(guān)系求出球的半徑與表面積.

解答 解:根據(jù)題意,三棱ABC-A1B1C1是直三棱柱,
其體積為12•AB•AC•sin∠BAC•AA1=12×2×1×sin60°×AA1=26,
AA1=42,
所以BC=\sqrt{{2}^{2}{+1}^{2}-2×2×1×cos60°}=\sqrt{3}
所以△ABC是直角三角形;
如圖所示,
連接上下底面中心P、Q,O為PQ的中點,
則OP⊥平面ABC,球的半徑為OA,
由題意OP=2\sqrt{2},AP=\frac{1}{2}AB=1,∴OA=3,
所以球的表面積為:4πR2=4π×32=36π.
故選:A.

點評 本題考查了球的表面積與球的內(nèi)接體問題,也考查了空間想象能力理解能力的應(yīng)用問題,是綜合性題目.

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