Question

3．給定兩個單位向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，它們的夾角為60°．點C在以O(shè)為圓弧$\widehat{AB}$上運動，若$\overrightarrow{OC}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，其中x，y∈R，則xy的最大值為$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 本題是向量的坐標(biāo)表示的應(yīng)用，結(jié)合圖形，利用三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求出結(jié)果．

解答 解：建立如圖所示的坐標(biāo)系，則B（1，0），A（cos60°，sin60°），即A（$\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$）
設(shè)∠BOC=α，則$\overrightarrow{OC}$=（cosα，sinα）
∵$\overrightarrow{OC}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$=（$\frac{1}{2}$x+y，$\frac{\sqrt{3}}{2}$x）
∴cosα=$\frac{1}{2}$x+y，sinα=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x
∴x=$\frac{2}{\sqrt{3}}$sinα，y=cosα-$\frac{1}{\sqrt{3}}$sinα，
∴xy=（cosα-$\frac{1}{\sqrt{3}}$sinα）•$\frac{2}{\sqrt{3}}$sinα=$\frac{1}{\sqrt{3}}$sin2α+$\frac{1}{3}$cos2α-$\frac{1}{3}$
=$\frac{2}{3}$sin（α+30°）-$\frac{1}{3}$
∵0°≤α≤60°，∴30°≤α+30°≤90°
∴$\frac{1}{2}$≤sin（α+30°）≤1，
∴xy有最大值$\frac{1}{3}$，當(dāng)α=60°時取最大值．
故答案為：$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查向量知識的運用，考查三角函數(shù)的性質(zhì)，確定x，y的關(guān)系式是關(guān)鍵．