Question

設橢圓E中心在原點，焦點在x軸上，短軸長為4，點Q（2，）在橢圓上.

（1）求橢圓E的方程；

（2）設動直線L交橢圓E于A、B兩點，且，求△OAB的面積的取值范圍.

（3）過M（）的直線:與過N（）的直線:

的交點P（）在橢圓E上，直線MN與橢圓E的兩準線分別交于G，H兩點，求·的值.

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）－8.

【解析】試題分析：（1）由已知b＝2，再由點Q在曲線上，可求得a的值；（2）設直線方程為y＝kx＋m，根據(jù)，可得k與m的關系，然后用m和k表示出三角形面積，利用均值定理可求其范圍，注意不要漏掉斜率不存在的情況；（3）利用l1、l2的交點找出x0，y0的關系，然后將表示為x0，y0的表達式求值.

解析：（1）因為橢圓E: （a>b>0）過M（2，） ，2b＝4

故可求得b＝2，a＝2 橢圓E的方程為 3分

（2）設P（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），當直線L斜率存在時設方程為，

解方程組得，即，

則△＝，

即（*）

，

要使，需使，即，

所以， 即 ①

將它代入（*）式可得

P到L的距離為

又

將及韋達定理代入可得

當時

由 故

當時，

當AB的斜率不存在時， ，綜上S 8分

（3）點P（）在直線:和：上，

，

故點M（）N（）在直線上

故直線MN的方程，上

設G，H分別是直線MN與橢圓準線，的交點

由和得G（－4，）

由和得H（4，）

故·＝－16＋

又P（）在橢圓E：

有故

·＝－16＋＝－8 13分

考點：橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關系，平面向量