(2012•貴州模擬)已知函數(shù)f(x)=
a+blnx
x+1
在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為x+y=2.
(I)求a,b的值;
(II)對(duì)函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任一個(gè)實(shí)數(shù)x,f(x)<
m
x
恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
分析:(I)求導(dǎo)函數(shù),利用函數(shù)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為x+y=2,建立方程組,即可求a,b的值;
(II)對(duì)函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任一個(gè)實(shí)數(shù)x,f(x)<
m
x
恒成立,等價(jià)于
2x-xlnx
x+1
<m
恒成立,求出函數(shù)的最值,即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
解答:解:(Ⅰ)∵f(x)=
a+blnx
x+1
,∴f′(x)=
b
x
(x+1)-(a+blnx)
(x+1)2

∵點(diǎn)(1,f(1))在直線x+y=2上,∴f(1)=1,
∵直線x+y=2的斜率為-1,∴f′(1)=-1
∴有
a
2
=1
2b-a
4
=-1
,∴
a=2
b=-1

(Ⅱ)由(Ⅰ)得f(x)=
2-lnx
x+1
(x>0)

f(x)<
m
x
及x>0,可得
2x-xlnx
x+1
<m

g(x)=
2x-xlnx
x+1
,∴g(x)=
(1-lnx)(x+1)-(2x-xlnx)
(x+1)2
=
1-x-lnx
(x+1)2

令h(x)=1-x-lnx,∴h′(x)=-1-
1
x
<0(x>0)
,故h(x)在區(qū)間(0,+∞)上是減函數(shù),
故當(dāng)0<x<1時(shí),h(x)>h(1)=0,當(dāng)x>1時(shí),h(x)<h(1)=0
從而當(dāng)0<x<1時(shí),g′(x)>0,當(dāng)x>1時(shí),g′(x)<0
∴g(x)在(0,1)是增函數(shù),在(1,+∞)是減函數(shù),故g(x)max=g(1)=1
要使
2x-xlnx
x+1
<m
成立,只需m>1
故m的取值范圍是(1,+∞).
點(diǎn)評(píng):本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用,考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查恒成立問題,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題.
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x=cosφ
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π
3
)

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-40
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