設(shè)雙曲線C:
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
,點(diǎn)A、B分別為雙曲線C實(shí)軸的左端點(diǎn)和虛軸的上端點(diǎn),點(diǎn)F1、F2分別為雙曲線C的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)M、N是雙曲線C的右支上不同兩點(diǎn),點(diǎn)Q為線段MN的中點(diǎn).已知在雙曲線C上存在一點(diǎn)P,使得
PA
+
PB
+
PF2
=(
3
-3)
OP

(Ⅰ)求雙曲線C的離心率;
(Ⅱ)設(shè)a為正常數(shù),若點(diǎn)Q在直線y=2x上,求直線MN在y軸上的截距的取值范圍.
分析:(Ⅰ)由題設(shè)知c=
a2+b2
OA
+
OB
+
OF2
=
3
OP
.設(shè)點(diǎn)P(x0,y0
(c-a)2
3a2
-
b2
3b2
=1
,則有x0=
1
3
(c-a)
,y0=
b
3
.由此推導(dǎo)出c=3a,可得離心率;
(Ⅱ)由題意知c=3a,則b2=c2-a2=8a2.若MN⊥x軸,則Q在x軸上,不合題意.設(shè)直線MN的方程為y=kx+m,代入
x2
a2
-
y2
8a2
=1
,得8x2-(kx+m)2=8a2,即(8-k2)x2-2kmx-m2-8a2=0.若k2=8,則MN與雙曲線C的漸近線平行,不合題意.設(shè)點(diǎn)M(x1,y1),N(x2,y2),Q(x0,y0),由根與系數(shù)的關(guān)系能夠推導(dǎo)出直線MN在y軸上的截距的取值范圍.
解答:解:(Ⅰ)由題設(shè),點(diǎn)A(-a,0),B(0,b),F(xiàn)1(-c,0),F(xiàn)2(c,0),其中c=
a2+b2
.(1分)
因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">
PA
+
PB
+
PF2
=(
3
-3)
OP
,則
OA
+
OB
+
OF2
=
3
OP

設(shè)點(diǎn)P(x0,y0
(c-a)2
3a2
-
b2
3b2
=1

,則(-a+c,b)=
3
(x0,y0)
,所以x0=
1
3
(c-a)
,y0=
b
3
.(3分)
因?yàn)辄c(diǎn)P在雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1
上,所以,即(c-a)2=4a2.(4分)
因?yàn)閏>a,所以c-a=2a,即c=3a,故離心率e=
c
a
=3
.(6分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知c=3a,則b2=c2-a2=8a2.(7分)
若MN⊥x軸,則Q在x軸上,不合題意.
設(shè)直線MN的方程為y=kx+m,代入
x2
a2
-
y2
8a2
=1
,得8x2-(kx+m)2=8a2,即(8-k2)x2-2kmx-m2-8a2=0.(*)(9分)
若k2=8,則MN與雙曲線C的漸近線平行,不合題意.
設(shè)點(diǎn)M(x1,y1),N(x2,y2),Q(x0,y0),則x1+x2=
2km
8-k2
,x0=
x1+x2
2
=
km
8-k2
,y0=kx0+m=
8m
8-k2
.(10分)
若點(diǎn)Q在直線y=2x上,則
8m
8-k2
=
2km
8-k2

因?yàn)辄c(diǎn)M、N在雙曲線的右支上,所以m≠0,從而k=4.(11分)
此時(shí),方程(*)可化為8x2+8mx+m2+8a2=0.
由△=82m2-4×8(m2+8a2)>0,得m2>8a2.(12分)
又M、N在雙曲線C的右支上,則x1+x2=-m>0,所以m<-2
2
a

故直線MN在y軸上的截距的取值范圍是(-∞,-2
2
a)
.(13分)
點(diǎn)評(píng):本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系,解題時(shí)要注意公式的靈活運(yùn)用.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)雙曲線C:
x2
a2
-
y2
b2
=1
的右焦點(diǎn)為F2,過(guò)點(diǎn)F2的直線l與雙曲線C相交于A,B兩點(diǎn),直線l的斜率為
35
,且
AF2
=2
F2B
;
(1)求雙曲線C的離心率;
(2)如果F1為雙曲線C的左焦點(diǎn),且F1到l的距離為 
2
35
3
,求雙曲線C的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(理)設(shè)雙曲線C:
x2
a2
-
y2
b2
=1
(a>0,b>0)的離心率為e,若準(zhǔn)線l與兩條漸近線相交于P、Q兩點(diǎn),F(xiàn)為右焦點(diǎn),△FPQ為等邊三角形.
(1)求雙曲線C的離心率e的值;
(2)若雙曲線C被直線y=ax+b截得的弦長(zhǎng)為
b2e2
a
求雙曲線c的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)雙曲線C:
x2
a2
-y2=1 (a>0) 與直線 l:x+y=1
相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B.
(1)求a的取值范圍:(2)設(shè)直線l與y軸的交點(diǎn)為P,且
PA
=
5
12
PB
.求a的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•閔行區(qū)一模)設(shè)雙曲線C:
x2
a2
-
y2
b2
=1(a,b>0),R1,R2是它實(shí)軸的兩個(gè)端點(diǎn),l是其虛軸的一個(gè)端點(diǎn).已知其一條漸近線的一個(gè)方向向量是(1,
3
),△lR1R2的面積是
3
,O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線y=kx+m(k,m∈R)與雙曲線C相交于A、B兩點(diǎn),且
OA
OB

(1)求雙曲線C的方程;
(2)求點(diǎn)P(k,m)的軌跡方程,并指明是何種曲線.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•閔行區(qū)一模)設(shè)雙曲線C:
x2
a2
-
y2
b2
=1(a,b>0)
的虛軸長(zhǎng)為2
3
,漸近線方程是y=±
3
x
,O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線y=kx+m(k,m∈R)與雙曲線C相交于A、B兩點(diǎn),且
OA
OB

(1)求雙曲C的方程;
(2)求點(diǎn)P(k,m)的軌跡方程.

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同步練習(xí)冊(cè)答案