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對于三次函數f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),定義f″(x)是y=f(x)的導函數y=f′(x)的導函數,若方程f″(x)=0有實數解x0,則稱點(x0,f(x0))為函數y=f(x)的“拐點”.有的同學發(fā)現“任何三次函數都有‘拐點’;任何三次函數都有對稱中心;且對稱中心就是‘拐點’”.請你根據這一發(fā)現判斷下列命題:
(1)任意三次函數都關于點(-
b
3a
,f(-
b
3a
))
對稱;
(2)存在三次函數,f'(x)=0有實數解x0,(x0,f(x0))點為函數y=f(x)的對稱中心;
(3)存在三次函數有兩個及兩個以上的對稱中心;
(4)若函數g(x)=
1
3
x3-
1
2
x2-
5
12
,則g(
1
2013
)+g(
2
2013
)+g(
3
2013
)+…+g(
2012
2013
)=-1006

其中正確命題的序號為( 。
A.(1)(2)(4)B.(1)(2)(3)(4)C.(1)(2)(3)D.(2)(3)
(1)由題意,f′(x)=3ax2+2bx+c(a≠0),∴f″(x)=6ax+2b(a≠0),
∴令f″(x)=0,可得x=-
b
3a
,∴任意三次函數都關于點(-
b
3a
,f(-
b
3a
))
對稱,故(1)正確;
(2)由(1)知,x0=-
b
3a
,代入f'(x)=0,可得3a×
b2
9a2
-2b×
b
3a
+c=0
,∴b2=3ac,此時,存在三次函數,f'(x)=0有實數解x0,(x0,f(x0))點為函數y=f(x)的對稱中心,故(2)正確;
(3)由(1)知,三次函數有且只有一個對稱中心,即不存在三次函數有兩個及兩個以上的對稱中心,故(3)不正確;
(4)∵g(x)=
1
3
x3-
1
2
x2-
5
12
,∴g′(x)=x2-x
∴g″(x)=2x-1
令g″(x)=0,可得x=
1
2
,∴g(1)=-
1
2

g(x)=
1
3
x3-
1
2
x2-
5
12
的對稱中心為(
1
2
,-
1
2
)

∴g(x)+g(1-x)=-1
g(
1
2013
)+g(
2
2013
)+g(
3
2013
)+…+g(
2012
2013
)=-1006
,即(4)正確,
故選A.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源:不詳 題型:填空題

若全集U={0,1,2},A={x|ax+1=0}且∁UA={0,1},則a=______.

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:單選題

給出下列命題:
①已知橢圓
x2
16
+
y2
8
=1兩焦點F1,F2,則橢圓上存在六個不同點M,使得△F1MF2為直角三角形;
②已知直線l過拋物線y=2x2的焦點,且與這條拋物線交于A,B兩點,則|AB|的最小值為2;
③若過雙曲線C:
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)的一個焦點作它的一條漸近線的垂線,垂足為M,O為坐標原點,則|OM|=a;
④根據氣象記錄,知道荊門和襄陽兩地一年中雨天所占的概率分別為20%和18%,兩地同時下雨的概率為12%,則荊門為雨天時,襄陽也為雨天的概率是60%.
其中正確命題的序號是( 。
A.①③④B.①②③C.③④D.①②④

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:單選題

下列命題中,正確命題的個數是( 。
(1)平面a內有且僅有一條直線和這個平面外的一條直線l垂直
(2)經過一點和已知直線垂直的平面有且只有一個
(3)經過平面外一點和這個平面平行的直線有且僅有一條
(4)經過平面外一點有且僅有一條直線和這個平面垂直.
A.0B.1C.2D.3

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:單選題

給出下列三個命題:①“若x+y=0,則x、y互為相反數”的否命題;②“若a>b,則a2>b2”的逆否命題;③已知a、b、c、d是實數,“若a=b,c=d,則a+c=b+d”的逆命題.其中真命題的個數是( 。
A.0B.1C.2D.3

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:解答題

已知p:二次函數f(x)=x2-7x+6在區(qū)間[m,+∞)是增函數;q:二次不等式x2-(m-4)x+1-
1
4
m>0
的解集為R.若p∨q為真,p∧q為假,求實數m的取值范圍.

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:解答題

已知p:關于x的方程4x2+4(m-2)x+1=0無實根,q:關于x的方程x2+mx+1=0的兩實根都小于1,若p∧q是真命題,且¬(p∨q)是假命題,求實數m的取值范圍.

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:單選題

下列說法正確的是( 。
A.一條直線和一個平面平行,它就和這個平面內的任一條直線平行
B.平行于同一平面的兩條直線平行
C.如果一個平面內的無數條直線平行于另一個平面,則這兩個平面平行
D.如果一個平面內任何一條直線都平行于另一個平面,則這兩個平面平行

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:解答題

已知a>0,且a≠1,設P:函數y=logax在區(qū)間(0,+∞)內單調遞減;Q:曲線y=x2+(2a-3)x+1與x軸交于不同的兩點.
(1)求Q正確時,a的取值范圍;
(2)求P與Q有且只有一個正確的充要條件.

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