Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n滿足S_n=2a_n-2（n∈N⁺）
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）數(shù)列{b_n}滿足a_n•b_n=2（a_n-1），求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用遞推式與等比數(shù)列的通項公式即可得出；
（2）由a_n•b_n=2（a_n-1），可得b_n=2-

2

an

=2-

1

2n-1

，利用等比數(shù)列前n項和公式即可得出．

解答： 解：（1）∵S_n=2a_n-2（n∈N⁺），
∴當n≥2時，S_n-1=2a_n-1-2，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2-（2a_n-1-2），化為a_n=2a_n-1．
當n=1時，a₁=S₁=2a₁-2，解得a₁=2，
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，首項為2，公比為2，
∴an=2n．
（2）∵a_n•b_n=2（a_n-1），∴b_n=2-

2

an

=2-

1

2n-1

，
∴{b_n}的前n項和為T_n=2n-

1-( 1 2 )n

1- 1 2

=2n-2+(

1

2

)n-1．

點評：本題考查了遞推式的應用、等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．