Question

已知點(diǎn)P是拋物線x²=4y上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓x²+（y-4）²=1的兩條切線，切點(diǎn)分別為M，N，則線段MN長度的最小值是

33

3

．

Answer 1

分析：先確定MN=2ME=

2PM

PO

=

2 PO2-1

PO

=2

1- 1 PO2

，可得PO值最小時(shí)，MN取最小值，進(jìn)而求出PO最小值即可．

解答：解：設(shè)圓心為O（0，4），PO與MN交于E，則PO²=PM²+1，MN=2ME=

2PM

PO

=

2 PO2-1

PO

=2

1- 1 PO2

∴當(dāng)PO值最小時(shí)，MN取最小值；設(shè)P（x，y），則PO²=x²+（y-4）²=y²-4y+16=（y-2）²+12
當(dāng)y=2時(shí)，PO²有最小值12，
∴線段MN長度的最小值是2

1- 1 12

=

33

3

故答案為：

33

3

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查計(jì)算能力，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．