Question

設(shè)F₁，F(xiàn)₂是橢圓E：

x2

a2

+2y2=1（a＞

2

2

）的左右焦點(diǎn)，過(guò)F₁的直線(xiàn)l與E相交于A、B兩點(diǎn)，且|AF₂|，|AB|，|BF₂|成等差數(shù)列
（1）求|AB|；
（2）若直線(xiàn)l的斜率為1，求橢圓E的方程．

Answer 1

分析：（1）由等差數(shù)列的定義得到2|AB|=|AF₂|+|BF₂|，由橢圓定義知|AF₂|+|AB|+|BF₂|=4a，兩式聯(lián)立可求
|AB|；
（2）寫(xiě)出直線(xiàn)方程，和橢圓方程聯(lián)立后利用弦長(zhǎng)公式求出|AB|，和（1）中求出的|AB|聯(lián)立求解a的值，則橢圓E的方程可求．

解答：解：（1）由|AF₂|，|AB|，|BF₂|成等差數(shù)列，
得2|AB|=|AF₂|+|BF₂|，由橢圓定義知|AF₂|+|AB|+|BF₂|=4a．
所以3|AB|=4a，|AB|=

4

3

a；
（2）由題意設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=x+c．
聯(lián)立

y=x+c x2 a2 +2y2=1

，得（2a²+1）x²+4a²cx+2a²c²-a²=0
則x1+x2=

-4a2c

2a2+1

，x1x2=

2a2c2-a2

2a2+1

．
所以|AB|=

2

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

(- 4a2c 2a2+1 )2-4• 2a2c2-a2 2a2+1

=

2

-8a2c2+8a4+4a2 (2a2+1)2

=

4a

3

．
解得：a²=2．
代入△滿(mǎn)足△＞0成立．
所以橢圓方程為

x2

2

+2y2=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的定義，考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，訓(xùn)練了弦長(zhǎng)公式的用法，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，是中檔題．