Question

若

a

，

b

是平面內(nèi)不共線(xiàn)的向量，

c

是平面內(nèi)任一向量，關(guān)于實(shí)數(shù)x的方程

a

x2+

b

x+

c

=

0

，下列說(shuō)法正確的是（　�。�

A．有兩個(gè)不同的解

B．只有一解

C．至多有一個(gè)解

D．無(wú)解

Answer 1

分析：關(guān)于x的方程

a

x²+

b

x+

c

=

0

，可轉(zhuǎn)化為

c

=-x²

a

-x

b

，由向量

a

、

b

不共線(xiàn)，根據(jù)平面向量的基本定理我們易判斷存在有且僅有一對(duì)實(shí)數(shù)λ₁、λ₂，滿(mǎn)足方程，即λ₁=-x²且λ₂=-x，根據(jù)實(shí)數(shù)
的性質(zhì)，我們易判斷方程根的個(gè)數(shù)．

解答：解：原方程即：

c

=-x²

a

-x

b

，∵

a

、

b

不共線(xiàn)，可視為“基底”，
根據(jù)平面向量基本定理知，有且僅有一對(duì)實(shí)數(shù)λ₁、λ₂，使得λ₁=-x²且λ₂=-x，
即當(dāng)λ₁=-λ₂²時(shí)方程有一解，否則當(dāng)λ₁ ≠-λ₂²時(shí)方程無(wú)解，
故關(guān)于實(shí)數(shù)x的方程

a

x2+

b

x+

c

=

0

至多有一個(gè)解，
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查平面向量的基本定理及其意義，即平面內(nèi)任意向量都可由兩不共線(xiàn)的非零向量唯一表示出來(lái)，此題不可用“判別式”，“判別式”只能判別實(shí)系數(shù)一元二次方程的根的情況，而本題中二次方程的系數(shù)是向量，屬于中檔題．