Question

已知函數(shù)，（a為常數(shù)，e為自然對(duì)數(shù)的底）．
（1）令，a=0，求μ'（x）和f'（x）；
（2）若函數(shù)f（x）在x=0時(shí)取得極小值，試確定a的取值范圍；
[理]（3）在（2）的條件下，設(shè)由f（x）的極大值構(gòu)成的函數(shù)為g（x），試判斷曲線g（x）只可能與直線2x-3y+m=0、3x-2y+n=0（m，n為確定的常數(shù)）中的哪一條相切，并說明理由．

Answer 1

解：（1），
（2）f'（x）=（2x+a）e^-x-e^-x（x²+ax+a）=e^-x[-x²+（2-a）x]
=e^-x•（-x）•[x-（2-a）]，令f'（x）=0，得x=0或x=2-a，
當(dāng)a=2時(shí)，f'（x）=-x²e^-x≤0恒成立，此時(shí)f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)a＜2時(shí)，2-a＞0，若x＜0，則f'（x）＜0，若0＜x＜2-a，
則f'（x）＞0，x=0是函數(shù)f（x）的極小值點(diǎn)；（4分）
當(dāng)a＞2時(shí)，2-a＜0，若x＞0，則f'（x）＜0，若2-a＜x＜0，則f'（x）＞0，
此時(shí)x=0是函數(shù)f（x）的極大值點(diǎn)，
綜上所述，使函數(shù)f（x）在x=0時(shí)取得極小值的a的取值范圍是a＜2
[理]（3）由（1）知a＜2，且當(dāng)x＞2-a時(shí)，f'（x）＜0，
因此x=2-a是f（x）的極大值點(diǎn)，f_max（x）=f（2-a）=（4-a）e^a-2，
于是g（x）=（4-x）e^x-2（x＜2）（8分）
g'（x）=-e^x-2+e^x-2（4-x）=（3-x）e^x-2，
令h（x）=（3-x）e^x-2（x＜2），
則h'（x）=（2-x）e^x-2＞0恒成立，即h（x）在（-∞，2）是增函數(shù)，
所以當(dāng)x＜2時(shí)，h（x）＜h（2）=（3-2）e^2-2=1，即恒有g(shù)'（x）＜1，
又直線2x-3y+m=0的斜率為，直線3x-2y+n=0的斜率為，
所以由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知曲線g（x）只可能與直線2x-3y+m=0相切
分析：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的公式和法則求出兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．
（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，使得導(dǎo)函數(shù)等于0，解出結(jié)果，看出函數(shù)的單調(diào)性，得到函數(shù)的極值，討論在x=0處取得極值點(diǎn)條件，得到結(jié)果．
（3）根據(jù)導(dǎo)數(shù)寫出函數(shù)的極大值點(diǎn)組成的函數(shù)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)性，得到當(dāng)x＜2時(shí)，h（x）＜h（2）=（3-2）e^2-2=1，即恒有g(shù)'（x）＜1，得到結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算和應(yīng)用，注意函數(shù)的極值點(diǎn)的求法，解題的關(guān)鍵是利用函數(shù)的極大值點(diǎn)組成一個(gè)函數(shù)，解題的過程比較繁瑣，注意數(shù)字的運(yùn)算．