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已知函數f(x)＝plnx＋(p－1)x2＋1．

(1)討論函數f(x)的單調性；

(2)當p＝1時，f(x)≤kx恒成立，求實數k的取值范圍；

(3)證明：．

答案：
解析：

　　解：(1)的定義域為(0，＋∞)，…2分

　　當時，＞0，故在(0，＋∞)單調遞增；

　　當時，＜0，故在(0，＋∞)單調遞減　　4分

　　當－1＜＜0時，令＝0，解得．

　　則當時，＞0；時，＜0．

　　故在單調遞增，在單調遞減　　6分

　　(2)因為，所以

　　當p＝1時，恒成立

　　令，則　　8分

　　因為，由得，

　　且當時，；當時，．

　　所以在上遞增，在上遞減．所以，

　　故　　10分

　　(3)由(2)知當時，有，當時，即，

　　令，則，即　　12分

　　所以，，…，，

　　相加得

　　而

　　所以，　　14分


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：高三數學教學與測試 題型：044

已知函數f(x)＝(p＞0)，試求函數f(x)的單調區(qū)間．

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科目：高中數學 來源：2010年高三年級秦皇島市三區(qū)四縣聯考文科試題 題型：解答題

(文)已知函數f(x)＝－x3＋ax2＋bx＋c圖像上的點P(1，－2)處的切線方程為y＝－3x＋1.
(1)若函數f(x)在x＝－2時有極值，求f(x)的表達式；
(2)函數f(x)在區(qū)間[－2,0]上單調遞增，求實數b的取值范圍.

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科目：高中數學 來源：2012-2013學年浙江省臨海市高三第三次模擬理科數學試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數f (x)＝x3＋(1－a)x2－3ax＋1，a＞0．

(Ⅰ) 證明：對于正數a，存在正數p，使得當x∈[0，p]時，有－1≤f (x)≤1；

(Ⅱ) 設(Ⅰ)中的p的最大值為g(a)，求g(a)的最大值．

 

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科目：高中數學 來源：2011-2012學年湖南省、岳陽縣一中高三11月聯考理科數學 題型：解答題

（本小題滿分13分）(第一問8分，第二問5分)

已知函數f(x)＝2lnx，g(x)＝ax2＋3x.

（1）設直線x＝1與曲線y＝f(x)和y＝g(x)分別相交于點P、Q，且曲線y＝f(x)和y＝g(x)在點P、Q處的切線平行，若方程f(x2＋1)＋g(x)＝3x＋k有四個不同的實根，求實數k的取值范圍；

（2）設函數F(x)滿足F(x)＋x［f′(x)－g′(x)］＝－3x2－(a＋6)x＋1.其中f′(x)，g′(x)分別是函數f(x)與g(x)的導函數；試問是否存在實數a，使得當x∈(0,1］時，F(x)取得最大值，若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說明理由.

 

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科目：高中數學 來源：2010-2011學年云南省高二下學期期末考試理科數學卷 題型：選擇題

已知函數f(x)＝ln(x＋1)－x2＋x－m（m為常數）的圖象上P點處的切線與直線x－y＋2＝0的夾角為45°，則點P的橫坐標為（    ）

A.  0           B.            C.           D.  ±

 

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