【題目】定義:對于函數(shù)f(x),若在定義域內(nèi)存在實數(shù)x,滿足f(﹣x)=﹣f(x),則稱f(x)為“局部奇函數(shù)”.
(1)已知二次函數(shù)f(x)=ax2+2x﹣4a(a∈R),試判斷f(x)是否為定義域R上的“局部奇函數(shù)”?若是,求出滿足f(﹣x)=﹣f(x)的x的值;若不是,請說明理由;
(2)若f(x)=2x+m是定義在區(qū)間[﹣1,1]上的“局部奇函數(shù)”,求實數(shù)m的取值范圍.
【答案】
(1)解:f(x)為“局部奇函數(shù)”等價于關(guān)于x的方程f(﹣x)=﹣f(x)有解.
當(dāng)f(x)=ax2+2x﹣4a(a∈R)時,
方程f(﹣x)=﹣f(x)即2a(x2﹣4)=0,有解x=±2,
所以f(x)為“局部奇函數(shù)”
(2)解:當(dāng)f(x)=2x+m時,f(﹣x)=﹣f(x)可化為2x+2﹣x+2m=0,
因為f(x)的定義域為[﹣1,1],所以方程2x+2﹣x+2m=0在[﹣1,1]上有解.
令t=2x,t∈[ ,2],則﹣2m=t+
設(shè)g(t)=t+ ,則g'(t)=1﹣ = ,
當(dāng)t∈(0,1)時,g'(t)<0,故g(t)在(0,1)上為減函數(shù),
當(dāng)t∈(1,+∞)時,g'(t)>0,故g(t)在(1,+∞)上為增函數(shù).
所以t∈[ ,2]時,g(t)∈[2, ].
所以﹣m∈[2, ],即m∈[﹣ ,﹣1]
【解析】(1)若f(x)為“局部奇函數(shù)”,則根據(jù)定義驗證條件是否成立即可;(2)利用局部奇函數(shù)的定義,求出使方程f(﹣x)=﹣f(x)有解的實數(shù)m的取值范圍,可得答案.
【考點精析】通過靈活運用二次函數(shù)的性質(zhì),掌握當(dāng)時,拋物線開口向上,函數(shù)在上遞減,在上遞增;當(dāng)時,拋物線開口向下,函數(shù)在上遞增,在上遞減即可以解答此題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x>0時,f(x)=x2﹣2x.
(1)畫出f(x)的簡圖,并求f(x)的解析式;
(2)利用圖象討論方程f(x)=k的根的情況.(只需寫出結(jié)果,不要解答過程).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D,若存在閉區(qū)間[a,b]D,使得函數(shù)f(x)滿足:
①f(x)在[a,b]上是單調(diào)函數(shù);
②f(x)在[a,b]上的值域是[2a,2b],則稱區(qū)間[a,b]是函數(shù)f(x)的“和諧區(qū)間”.
下列結(jié)論錯誤的是( )
A.函數(shù)f(x)=x2(x≥0)存在“和諧區(qū)間”
B.函數(shù)f(x)=2x(x∈R)存在“和諧區(qū)間”
C.函數(shù)f(x)= (x>0)不存在“和諧區(qū)間”
D.函數(shù)f(x)=log2x(x>0)存在“和諧區(qū)間”
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:函數(shù)f(x)=loga(2+x)﹣loga(2﹣x)(a>0且a≠1)
(Ⅰ)求f(x)定義域;
(Ⅱ)判斷f(x)的奇偶性,并說明理由;
(Ⅲ)求使f(x)>0的x的解集.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】以下是某地搜集到的新房屋的銷售價格和房屋的面積的數(shù)據(jù):
房屋面積() | 115 | 110 | 80 | 135 | 105 |
銷售價格(萬元) | 24.8 | 21.6 | 18.4 | 29.2 | 22 |
(1)畫出數(shù)據(jù)對應(yīng)的散點圖;
(2)求線性回歸方程,并在散點圖中加上回歸直線;
(3)據(jù)(2)的結(jié)果估計當(dāng)房屋面積為150時的銷售價格.附:回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為:
,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x2﹣lnx.
(1)求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)設(shè)g(x)=x﹣t,若函數(shù)h(x)=g(x)﹣f(x)在[ ,e]上(這里e≈2.718)恰有兩個不同的零點,求實數(shù)t的取值范圍.
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