Question

△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知向量

m

=(a，btanA)，

n

=(b，atanB)．
（1）若

m

∥

n

，試判斷△ABC的形狀；
（2）若

m

⊥

n

，且a=2

3

，b=2，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）由兩向量平行時坐標滿足的關系列出等式，利用同角三角函數(shù)間的基本關系弦化切后，再利用正弦定理變形，然后利用二倍角的正弦函數(shù)公式得到sin2A=sin2B，由A和B都為三角形的內角，得到A+B的范圍，進而得到2A=2B或2A與2B互補，得到兩角相等或兩角互余，可得三角形為等腰三角形或直角三角形；
（2）由兩向量垂直時兩向量的數(shù)量積為0，根據兩向量的坐標列出等式，兩邊同時除以ab后得到tanAtanB=-1，再利用同角三角函數(shù)間的基本關系切化弦，并利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式變形得到cos（A-B）=0，由a大于b，根據大邊對大角得到A大于B，進而得到A-B=

π

2

，用B表示出A，由a，b，sinA及sinB，利用正弦定理列出關系式，將表示出的A代入，利用誘導公式及同角三角函數(shù)間的基本關系弦化切后，得到tanB的值，由B的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值求出B的度數(shù)，由A與B的關系式求出A的度數(shù)，再利用三角形的內角和定理求出C的度數(shù)，求出sinC的值，再由a與b的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積．

解答：解：（1）由

m

∥

n

，知a²tanB=b²tanA，即a²sinBcosA=b²sinAcosB，
利用正弦定理化簡得：sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B，
又A，B∈（0，π），0＜A+B＜π，
∴2A=2B，或2A+2B=π，即A=B或A+B=

π

2

，
則△ABC為等腰三角形或直角三角形；
（2）由

m

⊥

n

，知ab+abtanAtanB=0，即tanAtanB=-1，
∴cosAcosB+sinAsinB=0，即cos（A-B）=0，
又A，B∈（0，π），a=2

3

，b=2，
∴A＞B，
∴A-B=

π

2

，
在△ABC中，由正弦定理得：

2

sinB

=

2 3

sinA

=

2 3

sin(B+ π 2 )

=

2 3

cosB

，
∴tanB=

3

3

，又B∈（0，π），
∴B=

π

6

，
∴A=B+

π

2

=

2π

3

，C=

π

6

，
則S=

1

2

absinC=

1

2

×2

3

×2×

1

2

=

3

．

點評：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識有：平面向量的數(shù)量積運算，正弦、余弦定理，兩角和與差的余弦函數(shù)公式，二倍角的正弦函數(shù)公式，三角形的面積公式，以及正弦、余弦函數(shù)的圖象與性質，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．