已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)=
4x+bax2+1
的導(dǎo)函數(shù)為f′(x),且f′(x),在點(diǎn)x=1處取得極值.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(m,m+2)上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)m所有取值的集合;
(3)當(dāng)x1,x2∈R時(shí),求f′(x1)-f′(x2)的最大值.
分析:(1)根據(jù)奇函數(shù)的結(jié)論f(0)=0求出b的值,再由點(diǎn)x=1處取得極值得f′(1)=0,求出a的值;
(2)由(1)求出f′(x),再令f′(x)>0,求出x的范圍,得到增區(qū)間(-1,1),結(jié)合題意求出m的值;
(3)把f′(x)分離常數(shù)后,再利用換元法,即t=
1
x2+1
,求出t的范圍,轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次函數(shù),求出f′(x)的值域,讓最大值減去最小值,即是所求的值.
解答:解:(1)∵f(x)=
4x+b
ax2+1
是奇函數(shù),∴f(0)=0,求得b=0,
又∵f′(x)=
4(ax2+1)-4x•2ax
(ax2+1)2
,且f(x)在點(diǎn)x=1處取得極值,
∴f′(1)=0,解得a=1,故f(x)=
4x
x2+1

(2)∵f′(x)=
-4(x-1)(x+1)
(x2+1)2
,由f′(x)>0得,-1<x<1,
∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-1,1).
若f(x)在區(qū)間(m,m+2)上是增函數(shù),則有m=-1.
即m取值的集合為{-1}.
(3)∵f′(x)=
-4(x-1)(x+1)
(x2+1)2
=4[
2
(x2+1)2
-
1
x2+1
]

t=
1
x2+1
,則f′(x)=g(t)=4(2t2-t)=8(t-
1
4
)
2
-
1
2
,t∈(0,1]

f′(x)∈[-
1
2
,4]

f′(x1)-f′(x2)≤4-(-
1
2
)=
9
2
,
∴f′(x1)-f′(x2)的最大值為
9
2
點(diǎn)評(píng):本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性和極值問(wèn)題,奇函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用,分離常數(shù)和換元法求最值,難度大,綜合性強(qiáng).
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1
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(     )

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