Question

如圖，正方體ABCD-A′B′C′D′的棱長為1，線段B′D′上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)且EF=

3

2

，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（　�。�

A．AC⊥BE

B．三棱錐A-BEF的體積為定值

C．EF∥平面ABCD

D．異面直線AE，BF所成的角為定值

Answer 1

分析：根據(jù)線面垂直的判定與性質(zhì)，得到A項(xiàng)不錯(cuò)；根據(jù)點(diǎn)A到平面BEF的距離不變，以及三角形BEF面積不變，得到三棱錐A-BEF的體積為定值，得B項(xiàng)不錯(cuò)；根據(jù)面面平行的性質(zhì)，得到C項(xiàng)不錯(cuò)；根據(jù)異面直線所成角的定義，可得D項(xiàng)是錯(cuò)的．

解答：解：對(duì)于A，可得出AC⊥平面BB'D'D，而BE是平面BB'D'D內(nèi)的直線，因此AC⊥BE成立，故A項(xiàng)不錯(cuò)；
對(duì)于B，點(diǎn)A到平面BEF的距離也是點(diǎn)A到平面BB'D'D的距離，等于正方體面對(duì)角線的一半，而三角形BEF的邊EF=

3

2

，且EF到B點(diǎn)距離為1，所以其面積S=

1

2

•

3

2

•1=

3

4

為定值，故V_A-BEF=

1

3

•

3

4

•

2

2

=

6

24

，故B項(xiàng)不錯(cuò)；
對(duì)于C，因?yàn)槠矫鍭'B'C'D'∥平面ABCD，EF?平面A'B'C'D'，所以EF∥平面ABCD，故C不錯(cuò)；
對(duì)于D，當(dāng)EF變化時(shí)，異面直線AE、BF所成的角顯然不是一個(gè)定值，故D項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選D

點(diǎn)評(píng)：本題以正方體為例，要求我們判斷直線與平面、直線與直線的位置關(guān)系，以及求三棱錐的體積，著重考查了線面垂直的判定與性質(zhì)、面面平行的性質(zhì)和錐體體積公式等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．