Question

已知函數(shù)f(x)=cos(-

x

2

)+sin(π-

x

2

)，x∈R．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若f(A)=

2 10

5

，b=1，c=2，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用誘導(dǎo)公式即輔助角公式，化簡函數(shù)，從而可得函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）求出sinA，再利用三角形的面積公式，可得結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=cos(-

x

2

)+sin(π-

x

2

)=cos

x

2

+sin

x

2

=

2

sin(

x

2

+

π

4

)
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=4π，
又由2kπ-

π

2

≤

x

2

+

π

4

≤2kπ+

π

2

，∴4kπ-

3π

2

≤x≤4kπ+

π

2

(k∈Z)
可得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[4kπ-

3π

2

，4kπ+

π

2

](k∈Z)．…（6分）
（Ⅱ）解法一：由f(A)=

2 10

5

及（Ⅰ）可得sin(

A

2

+

π

4

)=

2 5

5

，
所以cos[2(

A

2

+

π

4

)]=1-2sin2(

A

2

+

π

4

)=-

3

5

，
即sinA=

3

5

，∴S△ABC=

1

2

bcsinA=

3

5

．…（12分）
解法二：由f(A)=

2 10

5

及（Ⅰ）可得sin(

A

2

+

π

4

)=

2 5

5

，
即sin

A

2

+cos

A

2

=

2 10

5

，
∴(sin

A

2

+cos

A

2

)2=

8

5

，即sinA=

3

5

∴S△ABC=

1

2

bcsinA=

3

5

．…（12分）

點評：本題考查三角函數(shù)的化簡，考查三角函數(shù)的性質(zhì)，考查三角形的面積公式，正確化簡函數(shù)是關(guān)鍵．