Processing math: 100%
5.已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)-axx+1(a>0).
(1)若函數(shù)在x=1處的切線(xiàn)與x軸平行,求a的值;
(2)若f(x)≥0在[0,+∞)上恒成立,求a的取值范圍;
(3)證明:(2016201720171e(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

分析 (1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),計(jì)算f′(1)=0,解得a的值即可;
(2)通過(guò)討論a的范圍,求出f(x)的單調(diào)性,從而求出f(x)的最小值,結(jié)合題意確定a的范圍即可;
(3)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明ln20172016120170,即證ln1+1201611+20160,由(2)知a=1時(shí),f(x)=ln(1+x)-xx+1在[0,+∞)單調(diào)遞增,從而證出結(jié)論即可.

解答 解:(1)∵f(x)=ln(1+x)-axx+1,(a>0),
∴f′(x)=x+1ax+12,f′(1)=0,即a=2;
(2)∵f(x)≥0在[0,+∞)上恒成立,∴f(x)min≥0,
當(dāng)0<a≤1時(shí),f′(x)≥0在[0,+∞)上恒成立,即f(x)在[0,+∞)上為增函數(shù),
∴f(x)min=f(0)=0成立,即0<a≤1,
當(dāng)a>1時(shí),令f′(x)≥0,則x>a-1,令f′(x)<0,則0≤x<a-1,
即f(x)在[0,a-1)上為減函數(shù),在(a-1,+∞)上為增函數(shù),
∴f(x)min=f(a-1)≥0,又f(0)=0>f(a-1),則矛盾.
綜上,a的取值范圍為(0,1].
(3)要證2016201720171e,只需證201720162017e
兩邊取自然對(duì)數(shù)得,2017ln201720161,即證ln2017201612017,
即證ln20172016120170,即證ln1+1201611+20160,
由(2)知a=1時(shí),f(x)=ln(1+x)-xx+1在[0,+∞)單調(diào)遞增.
11+20160,f(0)=0,
所以f12016=ln1+1201611+2016f0=0,
所以2016201720171e成立.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值的意義,考查導(dǎo)數(shù)的意義以及不等式的證明,分類(lèi)討論思想,是一道綜合題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

15.函數(shù)y=2x+1的定義域?yàn)椋ā 。?table class="qanwser">A.12+B.[12+C.12]D.12

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

16.函數(shù)f(x)=(12x在區(qū)間[-1,2]上的最大值為2.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

13.設(shè)函數(shù)f(x)=(x-1)ex-x2,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

20.設(shè)a=(32,1+sina),=(1-cosa,13),且a\overrightarrow,則銳角a為(  )
A.30°B.45°C.60°D.75°

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

10.函數(shù)f(x)=\root{3}{x-1}+log2(x2-1)的定義域?yàn)椋ā 。?table class="qanwser">A.(1,+∞)B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(-∞,-1)∪[1,+∞)D.(-1,1)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

17.已知定義在R上的函數(shù)f(x)同時(shí)滿(mǎn)足以下三個(gè)條件
(1)f(x)+f(2-x)=0,
(2)f(x)=(-2-x)
(3)f(x)={1x2x[10]1xx01]
則函數(shù)f(x)與函數(shù)g(x)={2xx0log12xx0的圖象在區(qū)間[-3,3]上公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為6個(gè).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

14.若對(duì)于任意的x>0時(shí)均有(x-a+2)(x2-ax-2)≥0,則實(shí)數(shù)a的值為(  )
A.1B.2C.2-1D.不存在

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

19.已知命題p:?x∈[1,2],x2-(k+1)x+1≤0,命題q:方程x292k+y2k=1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓.
(1)若p是真命題,求實(shí)數(shù)k的取值范圍;
(2)若p且q為假命題,p或q為真命題,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案
闂傚倷鑳舵灙濡ょ姴绻橀獮蹇涙晸閿燂拷 闂傚倸鍊搁崐鎼佸磻婵犲洤绠柨鐕傛嫹