Question

一束光線從點F₁（-1，0）出發(fā)，經直線l：2x-y+3=0上一點D反射后，恰好穿過點F₂（1，0），
（1）求以F₁、F₂為焦點且過點D的橢圓C的方程；
（2）從橢圓C上一點M向以短軸為直徑的圓引兩條切線，切點分別為A、B，直線AB與x軸、y軸分別交于點P、Q．求|PQ|的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題意，設并求出點F₁關于直線l：2x-y+3=0的對稱點A的坐標，則由對稱的意義，可得|PF₁|=|PA|，根據(jù)橢圓的定義變形可得2a=|PF₁|+|PF₂|=|AF₂|，代入數(shù)據(jù)可得a的值，進而由題意可得c的值，計算可得b的值，即可得答案；
（2）先根據(jù)題意設M（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）；分析可得直線AB方程為xx+yy=1，進而可以表示出P、Q的坐標，由兩點間的距離公式，結合不等式，分析可得答案．
解答：解：（1）設點F₁關于直線l：2x-y+3=0的對稱點A（m，n），
則，
解得，
則A（-，）
∵|PF₁|=|PA|，根據(jù)橢圓的定義，得2a=|PF₁|+|PF₂|=|AF₂|=，
∴，c=1，．
∴橢圓C的方程為．

（2）設M（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則，切線AM、BM方程分別為x₁x+y₁y=1，x₂x+y₂y=1，
∵切線AM、BM都經過點M（x，y），
∴x₁x+y₁y=1，x₂x+y₂y=1．
∴直線AB方程為xx+yy=1，
∴、，
，
當且僅當時，上式等號成立．
∴|PQ|的最小值為．
點評：本題考查直線與橢圓的位置關系，是一道綜合題目，解本類題目時，注意認真分析題意，結合有關的直線、圓的性質，進行分析計算，可以減小運算量．