Question

已知函數(shù)．
（1）若（e^a+2）x²+e^ax+e^a-2≥0對|x|≤1恒成立，求a的取值范圍；
（2）求證：對于正數(shù)a、b、μ，恒有f[]-f（）≥-．

Answer 1

（1）解：令g（x）=（e^a+2）x²+e^ax+e^a-2，
∵g（-1）=e^a＞0，且對稱軸
所以△=e^2a-4（e^2a-4）≤0
∴3e^2a≥16
∴
（2）證明：令
=
所以函數(shù)h（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)
現(xiàn)證明
只需證明
只需證明a²+μ²b²+2μab≤a²+μb²+μa²+μ²b²
2μab≤μb²+μa²顯然成立
∴
即有f[]-f（）≥-
分析：（1）構(gòu)造函數(shù)g（x）=（e^a+2）x²+e^ax+e^a-2，確定函數(shù)的對稱軸，利用判別式，即可求出a的取值范圍；
（2）構(gòu)造函數(shù)，證明函數(shù)h（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，將要證明的問題轉(zhuǎn)化為證明，即可得結(jié)論．
點(diǎn)評：本題以函數(shù)為載體，考查恒成立問題，考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，同時(shí)考查了分析法證明不等式，綜合性強(qiáng)．