Question

已知函數(shù)f（x）=2^x
（1）設函數(shù)y=f（x）的反函數(shù)為y=g（x），求函數(shù)y=g（x²-2x-3）的單調遞增區(qū)間；
（2）求滿足不等式f（|x+1|-|x-1|）≥2

2

的x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先由f（x）求得g（x），進而得到y(tǒng)=g（x²-2x-3），根據(jù)復合函數(shù)單調性的判斷方法可求得函數(shù)的單調增區(qū)間，注意函數(shù)的定義域；
（2）表示出不等式，利用指數(shù)函數(shù)的單調性可得|x+1|-|x-1|≥

3

2

，按照x≤-1，-1＜x≤1，x＞1三種情況討論去掉絕對值符號即可解得不等式；

解答：解：（1）由f（x）=2^x，得y=g（x）=log₂x，則y=g（x²-2x-3）=log₂（x²-2x-3），
由x²-2x-3＞0，得x＜-1或x＞3，
所以函數(shù)y=g（x²-2x-3）的定義域為（-∞，-1）∪（3，+∞），
因為y=log₂u單調遞增，u=x²-2x-3在（3+∞）上遞增，
所以y=log₂（x²-2x-3）的遞增區(qū)間為（3+∞）；
（2）f（|x+1|-|x-1|）≥2

2

，即2|x+1|-|x-1|≥2

2

，
所以|x+1|-|x-1|≥

3

2

，
①當x≤-1時，不等式可化為-（x+1）-（1-x）≥

3

2

，即-2≥

3

2

，無解；
②當-1＜x≤1時，不等式可化為（x+1）-（1-x）≥

3

2

，即2x≥

3

2

，解得x≥

3

4

，
所以

3

4

≤x≤1；
③當x＞1時，不等式可化為（x+1）-（x-1）≥

3

2

，即2≥

3

2

，
所以x＞1；
綜上，x≥

3

4

，即不等式f（|x+1|-|x-1|）≥2

2

的x的取值范圍為x≥

3

4

．

點評：本題考查復合函數(shù)的單調性、反函數(shù)以及絕對值不等式的求解，考查分類討論思想，綜合性較強，難度較大．