Question

在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=3，BB₁=4，B₁H⊥平面A₁BC₁，垂足為H．
（Ⅰ） 求證：H為△A₁BC₁的垂心；
（Ⅱ）求證：S2△A1B1C1=S△A1HC1•S△A1BC1（其中S△A1B1C1、S△A1HC1、S△A1BC1分別表示△A₁B₁C₁，△A₁HC₁，△A₁BC₁的面積）

Answer 1

分析：（Ⅰ）證明BC₁⊥平面A₁BC₁，可得BC₁⊥A₁H，同理C₁H⊥A₁B，故可證H為△A₁BC₁的垂心；
（Ⅱ）連接BH，并延長(zhǎng)交A₁C₁于E，連接B₁E，則由射影定理可得B₁E²=EH×EB，由此可證結(jié)論．

解答：證明：（Ⅰ）∵B₁H⊥平面A₁BC₁，BC₁?平面A₁BC₁，∴B₁H⊥BC₁，
∵長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁B₁⊥平面BC₁，∴A₁B₁⊥BC₁，
∵B₁H∩A₁B₁=B₁，∴BC₁⊥平面A₁B₁H，∴BC₁⊥A₁H，
同理C₁H⊥A₁B
∴H為△A₁BC₁的垂心；
（Ⅱ）如圖，連接BH，并延長(zhǎng)交A₁C₁于E，連接B₁E，

則由射影定理可得B₁E²=EH×EB
∴

1

4

（A₁C₁）²B₁E²=

1

2

A₁C₁×EH×

1

2

A₁C₁×EB
∴S2△A1B1C1=S△A1HC1•S△A1BC1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直，考查射影定理的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．