Question

1．已知A、B為橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$$-\frac{{y}^{2}}{3}$=1的公共頂點(diǎn)M、N分別為橢圓和雙曲線上一點(diǎn)（異于點(diǎn)A、B），$\overrightarrow{AM}$$+\overrightarrow{BM}$=λ（$\overrightarrow{AN}$$+\overrightarrow{BN}$）（λ∈R），設(shè)直線AM、BM、AN、BN的斜率分別為k₁、k₂、k₃、k₄，則k₁+k₂+k₃+k₄=（　�。�

• A． -$\frac{3}{2}$
• B． 0
• C． $\frac{3}{2}$
• D． $\frac{4\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 由橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$$-\frac{{y}^{2}}{3}$=1，可得公共頂點(diǎn)A（-2，0），B（2，0）．設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．由$\overrightarrow{AM}$$+\overrightarrow{BM}$=λ（$\overrightarrow{AN}$$+\overrightarrow{BN}$），可得三點(diǎn)O，M，N共線．因此$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=k，代入橢圓與雙曲線的方程可得：${x}_{1}^{2}$=$\frac{12}{3+4{k}^{2}}$，${x}_{2}^{2}$=$\frac{12}{3-4{k}^{2}}$．利用斜率計(jì)算公式可得：k₁=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$，k₂=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$，k₃=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+2}$，k₄=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}$，化簡(jiǎn)整理即可得出．

解答 解：由橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$$-\frac{{y}^{2}}{3}$=1，可得公共頂點(diǎn)A（-2，0），B（2，0）．
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．則$\frac{{x}_{1}^{2}}{4}+\frac{{y}_{1}^{2}}{3}$=1，$\frac{{x}_{2}^{2}}{4}-\frac{{y}_{2}^{2}}{3}$=1．
∵$\overrightarrow{AM}$$+\overrightarrow{BM}$=λ（$\overrightarrow{AN}$$+\overrightarrow{BN}$），∴三點(diǎn)O，M，N共線．
∴$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=k，
∴$\frac{{x}_{1}^{2}}{4}+\frac{{k}^{2}{x}_{1}^{2}}{3}$=1，可得：${x}_{1}^{2}$=$\frac{12}{3+4{k}^{2}}$，
同理可得：${x}_{2}^{2}$=$\frac{12}{3-4{k}^{2}}$．
k₁=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$，k₂=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$，k₃=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+2}$，k₄=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}$，
則k₁+k₂+k₃+k₄=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$+$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+2}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}$=$\frac{2{x}_{1}{y}_{1}}{{x}_{1}^{2}-4}$+$\frac{2{x}_{2}{y}_{2}}{{x}_{2}^{2}-4}$=$\frac{2k{x}_{1}^{2}}{{x}_{1}^{2}-4}$+$\frac{2k{x}_{2}^{2}}{{x}_{2}^{2}-4}$=$\frac{2k×\frac{12}{3+4{k}^{2}}}{\frac{12}{3+4{k}^{2}}-4}$+$\frac{2k×\frac{12}{3-4{k}^{2}}}{\frac{12}{3-4{k}^{2}}-4}$=$-\frac{3}{2k}$+$\frac{3}{2k}$=0，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓雙曲線相交問題、斜率計(jì)算公式、向量的平行四邊形法則，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．