Question

如右圖所示，某市擬在長(zhǎng)為8km的道路OP的一側(cè)修建一條運(yùn)動(dòng)賽道，賽道的前一部分為曲線段OSM，該曲線段為函數(shù)y=Asinwx（A＞0，w＞0），x∈[0，4]的圖象，且圖象的最高點(diǎn)為S（3，2

3

），賽道的后一部分為折線段MNP，為保證賽道運(yùn)動(dòng)會(huì)的安全，限定∠MNP=120°．
（1）求A，w的值和M，P兩點(diǎn)間的距離；
（2）如何設(shè)計(jì)，才能使這線段賽道MNP最長(zhǎng)？

Answer 1

考點(diǎn)：在實(shí)際問(wèn)題中建立三角函數(shù)模型

專題：應(yīng)用題

分析：（1）由最高點(diǎn)S的坐標(biāo)，周期公式，兩點(diǎn)間距離公式，可求A，w的值和M，P兩點(diǎn)間的距離；
（2）在△MNP中設(shè)∠PMN=θ，由正弦定理可得NP+MN=

10 3

3

sin（θ+60°），由0°＜θ＜60°可知當(dāng)θ=30°時(shí)，折線段MNP最長(zhǎng)．

解答： 解：（1）依題意，有A=2

3

，

T

4

=3，又T=

2π

ω

，∴ω=

π

6

，∴y=2

3

sin

π

6

x，
當(dāng)x=4時(shí)，y=2

3

sin

2π

3

=3．∴M（4，3），又P（8，0），
∴MP=

42+32

=5．
（2）在△MNP中∠MNP=120°，MP=5，設(shè)∠PMN=θ，則0°＜θ＜60°，
由正弦定理得

MP

sin120°

=

NP

sinθ

=

MN

sin(60°-θ)

，
∴NP=

10 3

3

sinθ，MN=

10 3

3

sin（60°-θ）
故NP+MN=

10 3

3

sinθ+

10 3

3

sin（60°-θ）=

10 3

3

（

1

2

sinθ+

3

2

cosθ）=

10 3

3

sin（θ+60°）
∵0°＜θ＜60°
∴當(dāng)θ=30°時(shí)，折線段MNP最長(zhǎng)，亦即，將∠PMN設(shè)計(jì)為30°時(shí)，折線段MNP最長(zhǎng)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了在實(shí)際問(wèn)題中建立三角函數(shù)模型，余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．