Question

16．己知f（x）=$\sqrt{x+1}$+$\sqrt{x+2}$，求證：f（x）+$\frac{1}{f（x）}$=f（x+1）-$\frac{1}{f（x+1）}$．

Answer 1

分析 利用函數(shù)解析式分別化簡等式左右兩邊，判斷是否相等．

解答 證明：因?yàn)閒（x）=$\sqrt{x+1}$+$\sqrt{x+2}$，
所以f（x）+$\frac{1}{f（x）}$=$\sqrt{x+1}$+$\sqrt{x+2}$+$\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}}$=$\sqrt{x+1}$+$\sqrt{x+2}$+$\sqrt{x+2}-\sqrt{x+1}$=2$\sqrt{x+2}$；
f（x+1）-$\frac{1}{f（x+1）}$=$\sqrt{x+2}+\sqrt{x+3}-\frac{1}{\sqrt{x+2}+\sqrt{x+3}}$=$\sqrt{x+2}+\sqrt{x+3}-\sqrt{x+3}+\sqrt{x+2}=2\sqrt{x+2}$．
所以f（x）+$\frac{1}{f（x）}$=f（x+1）-$\frac{1}{f（x+1）}$．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)解析式以及利用分母有理化化簡代數(shù)式．