Question

已知三棱錐S-ABC的三條側棱SA、SB、SC兩兩互相垂直且長度分別為a、b、c，設O為S在底面ABC上的射影．
求證：（1）O為△ABC的垂心；
（2）O在△ABC內；
（3）設SO=h，則++=．

Answer 1

證明：（1）∵SA⊥SB，SA⊥SC，
∴SA⊥平面SBC，BC?平面SBC．∴SA⊥BC．
而AD是SA在平面ABC上的射影，∴AD⊥BC．
同理可證AB⊥CF，AC⊥BE，故O為△ABC的垂心．
（2）證明△ABC為銳角三角形即可．不妨設a≥b≥c，
則底面三角形ABC中，AB=為最大，從而∠ACB為最大角．
用余弦定理求得cos∠ACB=＞0，
∴∠ACB為銳角，△ABC為銳角三角形．故O在△ABC內．
（3）SB•SC=BC•SD，
故SD=，=+，又SA•SD=AD•SO，
∴===+=++=．
分析：（1）只需證明O在△ABC的三條高線上，即可證明O為△ABC的垂心；
（2）只需證明△ABC是銳角三角形，即可證明O在△ABC內；
（3）設SO=h，利用等面積法：SB•SC=BC•SD、SA•SD=AD•SO，推得關系化簡為++=．
點評：本題考查棱錐的結構特征，余弦定理，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．