Question

設平面向量

a

=（

3

2

，-

1

2

），

b

=（

1

2

，

3

2

）若存在不同時為零的兩個實數s、t及實數k，使

x

=

a

+（t²-k）

b

，

y

=-s

a

+t

b

，且

x

⊥

y

（1）求函數關系式S=f（t）；
（2）若函數S=f（t）在[1，+∞]上是單調函數，求k的取值范圍．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算,函數解析式的求解及常用方法,函數單調性的判斷與證明

專題：平面向量及應用

分析：（1）首先根據向量的坐標求出向量的數量積和向量的模，然后利用向量垂直的充要條件求出函數的關系式．
（2）利用定義法證明函數的單調性，然后根據定義域求出函數關系式的值域，最后求出參數的取值范圍．

解答： 解：（1）已知向量

a

=（

3

2

，-

1

2

），

b

=（

1

2

，

3

2

）
所以：

a

•

b

=

3

2

•

1

2

-

1

2

•

3

2

=0，|

a

|=|

b

|=1
則：

x

=

a

+（t²-k）

b

=，

y

=-s

a

+t

b

，
由于

x

⊥

y

所以：

x

•

y

=-s

a

2+t

a

•

b

-s(t2-k)

a

•

b

+t(t2-k)

b

2=0
整理得：s=f（t）=t³-kt
（2）設：t₁＞t₂≥1
所以：f（t₁）-f（t₂）=t13-kt1-t23+kt2
=（t₁-t₂）（t12+t1t2+t22-k）
由于函數S=f（t）在[1，+∞]上是單調函數，
所以：t12+t1t2+t22-k＞0
即：t12+t1t2+t22＞k
由于t12+t1t2+t22＞3
所以：k≤3
即k的取值范圍為：k≤3．

點評：本題考查的知識要點：向量的運算，向量垂直的充要條件的應用，向量數量積和向量的模的應用，函數的單調性的應用．屬于中等題型．