已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點O，焦點在x軸上，橢圓的短軸端點和焦點所組成的四邊形為正方形，短軸長為2．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l過數(shù)學(xué)公式且與橢圓相交于A，B兩點，當(dāng)P是AB的中點時，求直線l的方程．

解：設(shè)橢圓方程為．
（Ⅰ）由已知可得．
∴所求橢圓方程為．
（Ⅱ）當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為，A（x1，y1），B（x2，y2），
則，，兩式相減得：．
∵P是AB的中點，∴，，
代入上式可得直線AB的斜率為，
∴直線l的方程為2x-4y+3=0．
當(dāng)直線l的斜率不存在時，將代入橢圓方程并解得，，
這時AB的中點為，∴不符合題設(shè)要求．
綜上，直線l的方程為2x-4y+3=0．
分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為，由題意可得，解出即可；
（Ⅱ）分情況進行討論：當(dāng)直線l的斜率存在時，利用平方差法：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），代入橢圓方程作差，根據(jù)斜率公式、中點坐標(biāo)公式即可求得斜率，再由點斜式即可求得此時直線方程；當(dāng)直線斜率不存在時，求出點A、B坐標(biāo)，檢驗即可；
點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、橢圓方程的求解，考查分類討論思想，凡涉及弦中點問題一般可考慮“平方差”法，即設(shè)出弦端點坐標(biāo)，代入圓錐曲線方程作差，由中點坐標(biāo)公式及斜率公式可得弦斜率及中點坐標(biāo)關(guān)系．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點O，焦點在x軸上，短軸長為2，且兩個焦點和短軸的兩個端點恰為一個正方形的頂點．過右焦點F與x軸不垂直的直線l交橢圓于P，Q兩點．
（1）求橢圓的方程；
（2）當(dāng)直線l的斜率為1時，求△POQ的面積；
（3）在線段OF上是否存在點M（m，0），使得以MP，MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點，且經(jīng)過點M(1，
2
5
5
)，N(-2，
5
5
)，若圓C的圓心與橢圓的右焦點重合，圓的半徑恰好等于橢圓的短半軸長，已知點A（x，y）為圓C上的一點．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求
AC
•
AO
+2|
AC
-
AO
|（O為坐標(biāo)原點）的取值范圍；
（3）求x2+y2的最大值和最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點，焦點在x軸上，橢圓上點P(3
2
，4)到兩焦點的距離之和是12，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點，焦點在x軸上，焦距為6
3
，且橢圓上一點到兩個焦點的距離之和為12，則橢圓的方程為
x2
36
+
y2
9
=1
x2
36
+
y2
9
=1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點O，焦點在x軸上，離心率為
2
2
，坐標(biāo)原點O到過右焦點F且斜率為1的直線的距離為
2
2
．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)過右焦點F且與坐標(biāo)軸不垂直的直線l交橢圓于P、Q兩點，在線段OF上是否存在點M（m，0），使得以MP、MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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