Question

13．如圖1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB=AD=$\frac{1}{2}$CD=1．現(xiàn)以AD為一邊向梯形外作正方形ADEF，然后沿邊AD將正方形ADEF翻折，使平面 ADEF與平面ABCD垂直，M為ED的中點(diǎn)，如圖2．

（1）求證：AM∥平面BEC；
（2）求平面 EBC與平面ABCD夾角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取EC中點(diǎn)N，連結(jié)MN，BN，推導(dǎo)出四邊形ABNM為平行四邊形，從而BN∥AM，由此能證明AM∥平面BEC．
（2）推導(dǎo)出ED⊥AD，ED⊥BC，從而BC⊥平面BDE，進(jìn)而∠EBD是平面EBC與平面ABCD夾角的平面角，由此能求出平面 EBC與平面ABCD夾角的余弦值．

解答 證明：（1）取EC中點(diǎn)N，連結(jié)MN，BN，
在△EDC中，M，N分別為ED，EC的中點(diǎn)，
∴MN∥CD，且MN=$\frac{1}{2}CD$，
∵AB∥CD，AB=$\frac{1}{2}$CD，∴MN∥AB，且MN=AB，
∴四邊形ABNM為平行四邊形，∴BN∥AM，
又BN?平面BEC，且AM?平面BEC，
∴AM∥平面BEC．
解：（2）在正方形ADEF中，ED⊥AD，
又平面ADEF與平面ABCD垂直且交線為AD，
由面面垂直的性質(zhì)定理，得ED⊥平面ABCD，∴ED⊥BC，
在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，且AB=AD=$\frac{1}{2}CD=1$，∴BC=$\sqrt{2}$，
在△BCD中，BD=BC=$\sqrt{2}$，CD=2，∴BD²+BC²=CD²，
∴BC⊥BD，又ED⊥BC，∴BC⊥平面BDE，
∴∠EBD是平面EBC與平面ABCD夾角的平面角，
在直角DEB中，tan$∠EBD=\frac{DE}{DB}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴cos$∠EBD=\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴平面EBC與平面ABCD夾角的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查面面夾角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．