已知拋物線和雙曲線都經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(1,2),它們?cè)趚軸上有共同焦點(diǎn),對(duì)稱(chēng)軸是坐標(biāo)軸,拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求拋物線和雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)已知?jiǎng)又本m過(guò)點(diǎn)P(3,0),交拋物線于A,B兩點(diǎn),記以線段AP為直徑的圓為圓C,求證:存在垂直于x軸的直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)為定值,并求出直線l的方程.
【答案】分析:(1)設(shè)拋物線的方程為 y2=2px(p>0),把點(diǎn)M(1,2)代入求得p的值,即可求得拋物線的方程.對(duì)于雙曲線,由焦點(diǎn)坐標(biāo)求得c的值,由雙曲線的定義求得a,從而求得b的值,從而求得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)由題意可得,AP的中點(diǎn)為C,設(shè)A(x1,y1),則C(,).設(shè)D、E是圓C上的兩個(gè)點(diǎn),且DE垂直于x軸,DE的中點(diǎn)為H,點(diǎn)D(x2,y2),則H(x2,y3),求得|DC|和|CH|、|DH|2,可得當(dāng)x2=2時(shí),|DH|2=2,故弦長(zhǎng)為|DE|=2|DH|=2 為定值,由此可得結(jié)論
解答:解:(1)設(shè)拋物線的方程為 y2=2px(p>0),把點(diǎn)M(1,2)代入求得p=2,
∴拋物線的方程為  y2=4x,焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(1,0).
對(duì)于雙曲線,一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(1,0),則另一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為F2(-1,0),
故c=1,2a=||MF1|-|MF2||=2-2,∴a=-1,∴b2=c2-a2=2-2.
故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
(2)由題意可得,AP的中點(diǎn)為C,設(shè)A(x1,y1),則C(,).
設(shè)D、E是圓C上的兩個(gè)點(diǎn),且DE垂直于x軸,DE的中點(diǎn)為H,點(diǎn)D(x2,y2),則H(x2,y3),
|DC|=|AP|=,|CH|=|-x2|=|(x1-2x2)+3|,
|DH|2=|DC|2-|HC|2=[+]-=(x2-2)x1-+3x2 
由x2的任意性可得,當(dāng)x2=2時(shí),|DH|2=-4+6=2,故弦長(zhǎng)為|DE|=2|DH|=2 為定值.
故存在垂直于x軸的直線l(即直線DE),倍圓截得的弦長(zhǎng)為定值,直線l的方程為 x=2.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查用待定系數(shù)法求拋物線和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線和圓相交的性質(zhì),屬于中檔題.
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已知拋物線和雙曲線都經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(1,2),它們?cè)趚軸上有共同焦點(diǎn),雙曲線的對(duì)稱(chēng)軸是坐標(biāo)軸,拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求這兩條曲線的方程;
(2)直線l過(guò)x軸上定點(diǎn)N(異于原點(diǎn)),與拋物線交于A、B兩點(diǎn)且以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn),試求出定點(diǎn)N的坐標(biāo).

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x2
3-2
2
-
y2
2
2
-2
=1
x2
3-2
2
-
y2
2
2
-2
=1

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(1)求拋物線和雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)已知?jiǎng)又本m過(guò)點(diǎn)P(3,0),交拋物線于A,B兩點(diǎn),記以線段AP為直徑的圓為圓C,求證:存在垂直于x軸的直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)為定值,并求出直線l的方程.

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