Question

5．近年來(lái)大氣污染防治工作得到各級(jí)部門(mén)的重視，某企業(yè)現(xiàn)有設(shè)備下每日生產(chǎn)總成本y（單位：萬(wàn)元）與日產(chǎn)量x（單位：噸）之間的函數(shù)關(guān)系式為y=2x²+（15-4k）x+120k+8，現(xiàn)為了配合環(huán)境衛(wèi)生綜合整治，該企業(yè)引進(jìn)了除塵設(shè)備，每噸產(chǎn)品除塵費(fèi)用為k萬(wàn)元，除塵后當(dāng)日產(chǎn)量x=1時(shí)，總成本y=142．
（1）求k的值；
（2）若每噸產(chǎn)品出廠價(jià)為48萬(wàn)元，試求除塵后日產(chǎn)量為多少時(shí)，每噸產(chǎn)品的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為多少？

Answer 1

分析 （1）求出除塵后的函數(shù)解析式，利用當(dāng)日產(chǎn)量x=1時(shí)，總成本y=142，代入計(jì)算得k=1；
（2）求出每噸產(chǎn)品的利潤(rùn)，利用基本不等式求解即可．

解答 解：（1）由題意，除塵后y=2x²+（15-4k）x+120k+8+kx=2x²+（15-3k）x+120k+8，
∵當(dāng)日產(chǎn)量x=1時(shí)，總成本y=142，代入計(jì)算得k=1；
（2）由（1）y=2x²+12x+128，
總利潤(rùn)L=48x-（2x²+12x+128）=36x-2x²-128，（x＞0）
每噸產(chǎn)品的利潤(rùn)=$\frac{L}{x}$=36-2（x+$\frac{64}{x}$）≤36-4$\sqrt{x•\frac{64}{x}}$=4，
當(dāng)且僅當(dāng)x=$\frac{64}{x}$，即x=8時(shí)取等號(hào)，
∴除塵后日產(chǎn)量為8噸時(shí)，每噸產(chǎn)品的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為4萬(wàn)元．

點(diǎn)評(píng) 本題考查將實(shí)際問(wèn)題的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題