Question

已知a＞0且a≠1，設(shè)P：函數(shù)y=a^x在R上單調(diào)遞減，Q：函數(shù)y=ln（x²+ax+1）的定義域為R，若P與Q有且僅有一個正確，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：復(fù)合命題的真假

專題：簡易邏輯

分析：對于命題P：利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得0＜a＜1．對于命題Q：函數(shù)y=ln（x²+ax+1）的定義域為R，可知：x²+ax+1＞0在R上恒成立，因此△＜0．
由于P與Q有且僅有一個正確，分為一下兩種情況：當(dāng)P真Q假時，當(dāng)Q真P假時，解出即可．

解答： 解：由于a＞0且a≠1，命題P：函數(shù)y=a^x在R上單調(diào)遞減，∴0＜a＜1．
Q：函數(shù)y=ln（x²+ax+1）的定義域為R，∴x²+ax+1＞0在R上恒成立，∴△=a²-4＜0，解得-2＜a＜2．
由于P與Q有且僅有一個正確，分為一下兩種情況：
當(dāng)P真Q假時，

0＜a＜1 a≤-2或a≥2

解得a∈∅．
當(dāng)Q真P假時，

a＞1 -2＜a＜2

，解得1＜a＜2．
綜上可得：a的取值范圍是（1，2）．

點評：本題考查了指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、一元二次不等式的解集與判別式的關(guān)系、簡易邏輯的有關(guān)知識，考查了推理能力，屬于基礎(chǔ)題．