Question

已知f（x）=-2x²+2ax-a²b．
（I）當不等式f（x）＞0的解集為（-1，3）時，求實數a，b的值；
（Ⅱ）若對任意實數a，f（2）＜0恒成立，求實數b的取值范圍；
（Ⅲ）設b使不為0的常數，解關于a的不等式f（1）+ab＜0．

Answer 1

分析：（I）將不等式f（x）＞0的解集為（-1，3），轉化為-1，3是方程-2x²+2ax-a²b=0的兩個根，從而可求a=2，b=-

3

2

；
（Ⅱ）對任意實數a，f（2）＜0恒成立，等價于-8+4a-a²b0對任意實數a恒成立，從而可求實數b的取值范圍；
（Ⅲ）f（1）+ab＜0，即-2+2a-a²b+ab0，對參數b進行討論，可解不等式．

解答：解：（I）∵不等式f（x）＞0的解集為（-1，3），
∴-1，3是方程-2x²+2ax-a²b=0的兩個根
∴

-2-2a-a2b=0 -18+6a-a2b=0

∴a=2，b=-

3

2

；
（Ⅱ）對任意實數a，f（2）＜0恒成立，等價于-8+4a-a²b＜0對任意實數a恒成立
即ba²-4a+8＞0對任意實數a恒成立
∴

b＞0 16-32b＜0

∴b＞

1

2

；
（Ⅲ）f（1）+ab＜0，即-2+2a-a²b+ab＜0
∴ba²-（2+b）+2＞0
∴（ba-2）（a-1）＞0
當b＜0時，

2

b

＜a＜1
當0＜b＜2時，a＜1，或a＞

2

b

當b=2時a≠1
當b＞2時，a＜

2

b

，或a＞1

點評：本題以函數為載體，考查不等式解集與方程根的關系，考查二次不等式恒成立問題，考查解不等式，正確分類是關鍵．