【題目】對于定義域為的函數(shù)，如果同時滿足以下三個條件：①任意的，總有；②；③若，，，總有成立,則稱函數(shù)為理想函數(shù).

（1）證明：若函數(shù)為理想函數(shù)，則；

（2）證明：函數(shù)，是理想函數(shù)；

（3）證明：若函數(shù)為理想函數(shù)，假定存在，使得且，則.

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析.

【解析】

(1) 令分別代入題設條件進行分析即可.
(2)對①②直接根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進行判斷,對③需代入計算化簡

證明即可.
(3)取,再根據(jù)題目條件代入分析論證即可.

(1)令,代入可得：即：,

又由條件①得：,故：；

(2)對于函數(shù),易得其值域,滿足①要求；其中.滿足②要求,若,,,

故滿足③,綜上所述：函數(shù)是理想函數(shù)；

(3)取,則：,因此：假設：,若,則；若,則,都與題設矛盾,所以假設不成立,則.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)

(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)內(nèi)角的對邊分別為，若，，，且，試求角和角.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某工廠生產(chǎn)一批零件，為了解這批零件的質(zhì)量狀況，檢驗員從這批產(chǎn)品中隨機抽取了100件作為樣本進行檢測，將它們的重量（單位：g）作為質(zhì)量指標值，由檢測結果得到如下頻率分布表和頻率分布直方圖.

分組

頻數(shù)

頻率

8

16

0.16

4

0.04

合計

100

1

（1）求圖中，的值；

（2）根據(jù)質(zhì)量標準規(guī)定：零件重量小于47或大于53為不合格品，重量在區(qū)間和內(nèi)為合格品，重量在區(qū)間內(nèi)為優(yōu)質(zhì)品.已知每件產(chǎn)品的檢測費用為5元，每件不合格品的回收處理費用為20元.以抽檢樣本重量的頻率分布作為該批零件重量的概率分布.若這批零件共400件，現(xiàn)有兩種銷售方案：

方案一：對剩余零件不再進行檢測，回收處理這100件樣本中的不合格品，余下所有零件均按150元/件售出；

方案二：繼續(xù)對剩余零件的重量進行逐一檢測，回收處理所有不合格品，合格品按150元/件售出，優(yōu)質(zhì)品按200元/件售出.

僅從獲得利潤大的角度考慮，該生產(chǎn)商應選擇哪種方案？請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某研究機構為了解某學校學生使用手機的情況，在該校隨機抽取了60名學生（其中男、女生人數(shù)之比為2：1）進行問卷調(diào)查.進行統(tǒng)計后將這60名學生按男、女分為兩組，再將每組學生每天使用手機的時間（單位：分鐘）分為5組，得到如圖所示的頻率分布直方圖（所抽取的學生每天使用手機的時間均不超過50分鐘）.

（1）求出女生組頻率分布直方圖中的值；

（2）求抽取的60名學生中每天使用手機時間不少于30分鐘的學生人數(shù).

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】《九章算術》是我國古代的數(shù)學名著，書中有如下問題：“今有五人分五錢，令上二人所得與下三人等.問各得幾何.”其意思為“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5錢，甲、乙兩人所得與丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數(shù)列.問五人各得多少錢？”（“錢”是古代的一種重量單位）.這個問題中，丙所得為（ ）

A.錢B.1錢C.錢D.錢

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，曲線在點處的切線方程為.

（1）求的解析式；

（2）判斷方程在內(nèi)的解的個數(shù)，并加以證明.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設數(shù)列，及函數(shù)（），（）．

（1）若等比數(shù)列滿足，，，求數(shù)列的前（）項和；

（2）已知等差數(shù)列滿足，，（、均為常數(shù)，，且），（）．試求實數(shù)對(，)，使得成等比數(shù)列．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列{an}滿足：a1+a2+a3+…+an=n-an，（n=1，2，3，…）

（Ⅰ）求證：數(shù)列{an-1}是等比數(shù)列；

（Ⅱ）令bn=（2-n）（an-1）（n=1，2，3，…），如果對任意n∈N*，都有bn+t≤t2，求實數(shù)t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，已知直線的極坐標方程為.

（1）求曲線的普通方程和直線的直角坐標方程；

（2）設為曲線上的一個動點，求點到直線距離的最小值.

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