Question

設(shè)，為不同的兩點(diǎn)，直線，，
以下命題中正確的序號為（   ）．
不論為何值，點(diǎn)N都不在直線上；
若，則過M，N的直線與直線平行；
若，則直線經(jīng)過MN的中點(diǎn)；
若，則點(diǎn)M、N在直線的同側(cè)且直線與線段MN的延長線相交．

A．(1)(2)(3)

B．(2)(3)(4)

C．(1)(3)(4)

D．(1)(2)(3)(4)

Answer 1

D

分析：
（1）根據(jù)δ中的分母不為0，即可判斷點(diǎn)N不在直線l上；
（2）δ=1時，分b不等于0和等于0兩種情況考慮，當(dāng)b不為0時，根據(jù)δ=1，化簡后得到直線MN的斜率與直線l的斜率相等，且點(diǎn)N不在直線l上，進(jìn)而得到兩直線平行；當(dāng)b為0時，根據(jù)δ=1推出直線l與直線MN的斜率都不存在，進(jìn)而得到兩直線平行；
（3）當(dāng)δ=-1時，化簡后得到線段MN的中點(diǎn)滿足直線l的解析式，進(jìn)而得到MN的中點(diǎn)在直線l上；
（4）根據(jù)δ大于1，得到ax₁+by₁+c與ax₂+by₂+c同號且|ax₁+by₁+c|大于|ax₂+by₂+c|，進(jìn)而得到點(diǎn)M、N在直線l的同側(cè)且直線l與線段MN的延長線相交，綜合可得答案。
解答：
（1）因?yàn)棣?中，ax₂+by₂+c≠0，所以點(diǎn)N（x₂，y₂）不在直線l上，本選項正確；
（2）當(dāng)b≠0時，根據(jù)δ=1，得到=1，化簡得：y₂-y₁/ x₂-x=-a/b，即直線MN的斜率為- a/b，
又直線l的斜率為- a/b，由（1）知點(diǎn)N不在直線l上，得到直線MN與直線l平行；
當(dāng)b=0時，根據(jù)δ=1，得到=1，
化簡得：x₁=x₂，直線MN與直線l的斜率不存在，都與y軸平行，
由（1）知點(diǎn)N不在直線l上，得到直線MN與直線l平行，
綜上，當(dāng)δ=1，直線MN與直線l平行，本選項正確；
（3）當(dāng)δ=-1時，得到=-1，
化簡得：a?（x₁+x）/2+b?（y₁+y₂）/2+c=0，而線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為（（x₁+x）/2，（y₁+y₂）/2）。所以直線l經(jīng)過MN的中點(diǎn)，本選項正確；
（4）當(dāng)δ＞1時，得到＞1，
即（ax₁+by₁+c）（ax₂+by₂+c）＞0，所以點(diǎn)M、N在直線l的同側(cè)，
且|ax₁+by₁+c|＞|ax₂+by₂+c|，得到點(diǎn)M與點(diǎn)N到直線l的距離不等，所以延長線與直線l相交，本選項正確。
所以命題中正確的序號為：（1）、（2）、（3）、（4）。
點(diǎn)評：此題考查學(xué)生掌握一點(diǎn)是否在已知直線上的判別方法，掌握兩直線平行時滿足的條件，是一道中檔題。