如圖，直線y＝x－2與拋物線y2＝2x相交于點(diǎn)A，B，求證：OA⊥OB．

答案：
解析：

　　解法一：將y＝x－2代入y2＝2x，得

　　(x－2)2＝2x．

　　化簡(jiǎn)得x2－6x＋4＝0，

　　解得x＝3±．

　　則y＝3±－2＝1±．

　　∵kOA＝，kOB＝，

　　∴kOA·kOB＝·＝－1，

　　∴OA⊥OB．

　　解法二：同解法一得方程x2－6x＋4＝0　　①

　　由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可知

　　x1＋x2＝6，x1·x2＝4，

　　∵y1＝x1－2，y2＝x2－2，

　　∴y1y2＝(x1－2)(x2－2)

　　＝x1·x2－2(x1＋x2)＋4

　�。�4－12＋4＝－4．

　　∴kOA·kOB＝·＝－1．

　　∴OA⊥OB．


練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：中學(xué)教材標(biāo)準(zhǔn)學(xué)案　數(shù)學(xué)　高二上冊(cè) 題型：044

如圖，直線y＝x與拋物線y＝x2－4交于A、B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與直線y＝－5交于Q點(diǎn)．

(1)求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

(2)當(dāng)P為拋物線上位于線段AB下方(含A、B)的動(dòng)點(diǎn)時(shí)，求△OPQ面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：福建省永安一中2011-2012學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)理科試題 題型：044

定義：由橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的一個(gè)頂點(diǎn)組成的三角形稱為該橢圓的“特征三角形”．如果兩個(gè)橢圓的“特征三角形”是相似的，則稱這兩個(gè)橢圓是“相似橢圓”，并將三角形的相似比稱為橢圓的相似比．已知橢圓．

(1)若橢圓，判斷C2與C1是否相似？如果相似，求出C2與C1的相似比；如果不相似，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(2)寫出與橢圓C1相似且短半軸長(zhǎng)為b的橢圓Cb的方程；若在橢圓Cb上存在兩點(diǎn)M、N關(guān)于直線y＝x＋1對(duì)稱，求實(shí)數(shù)b的取值范圍？

(3)如圖：直線l與兩個(gè)“相似橢圓”和分別交于點(diǎn)A，B和點(diǎn)C，D，證明：|AC|＝|BD|

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：上海市南匯中學(xué)2012屆高三第一次考試數(shù)學(xué)試題 題型：044

定義：由橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的一個(gè)頂點(diǎn)組成的三角形稱為該橢圓的“特征三角形”．如果兩個(gè)橢圓的“特征三角形”是相似的，則稱這兩個(gè)橢圓是“相似橢圓”，并將三角形的相似比稱為橢圓的相似比．已知橢圓

(1)若橢圓判斷C2與C1是否相似？如果相似，求出C2與C1的相似比；如果不相似，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(2)寫出與橢圓C1相似且短軸半軸長(zhǎng)為b的焦點(diǎn)在x軸上的橢圓Cb的標(biāo)準(zhǔn)方程；若在橢圓Cb上存在兩點(diǎn)M、N關(guān)于直線y＝x＋1對(duì)稱，求實(shí)數(shù)b的取值范圍？

(3)如圖：直線y＝x與兩個(gè)“相似橢圓”

分別交于點(diǎn)A，B和點(diǎn)C，D，試在橢圓M和橢圓Mλ上分別作出點(diǎn)E和點(diǎn)F(非橢圓頂點(diǎn))，使△CDF和△ABE組成以λ為相似的兩個(gè)相似三角形，寫出具體作法．(不必證明)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2013-2014學(xué)年湖北武漢市高三2月調(diào)研測(cè)試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，矩形ABCD中，|AB|＝2，|BC|＝2．E，F，G，H分別是矩形四條邊的中點(diǎn)，分別以HF，EG所在的直線為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，已知＝λ，＝λ，其中0＜λ＜1．

（1）求證：直線ER與GR′的交點(diǎn)M在橢圓Γ：＋y2＝1上；

（2）若點(diǎn)N是直線l：y＝x＋2上且不在坐標(biāo)軸上的任意一點(diǎn)，F1、F2分別為橢圓Γ的左、右焦點(diǎn)，直線NF1和NF2與橢圓Γ的交點(diǎn)分別為P、Q和S、T．是否存在點(diǎn)N，使得直線OP、OQ、OS、OT的斜率kOP、kOQ、kOS、kOT滿足kOP＋kOQ＋kOS＋kOT＝0？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

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