Question

【題目】已知拋物線：（）與橢圓：相交所得的弦長(zhǎng)為

（Ⅰ）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）設(shè)，是上異于原點(diǎn)的兩個(gè)不同點(diǎn)，直線和的傾斜角分別為和，當(dāng)，變化且為定值（）時(shí)，證明：直線恒過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）直線恒過(guò)定點(diǎn)．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）設(shè)拋物線與橢圓交于，兩點(diǎn)，由對(duì)稱性得，代入得的值；（Ⅱ）欲求證直線恒過(guò)定點(diǎn)，可先根據(jù)條件求出帶參數(shù)的直線的方程，再結(jié)合為定值即可證得．

試題解析：（Ⅰ）設(shè)拋物線與橢圓交于，兩點(diǎn)．

由橢圓的對(duì)稱性可知，，，

將點(diǎn)代入拋物線中，得，

再將點(diǎn)代入橢圓中，得，解得．

故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)，，

由題意得（否則，不滿足），且，，

設(shè)直線，的方程分別為，，

聯(lián)立，解得，，聯(lián)立，解得，；

則由兩點(diǎn)式得，直線的方程為．

化簡(jiǎn)得．①

因?yàn)?/span>，由，得，得，②

將②代入①，化簡(jiǎn)得，得．

得，

得，

得，

即．

令，不管取何值，都有．

所以直線恒過(guò)定點(diǎn)．