分析 (Ⅰ)證明:f(x)+f(1-x)=12+lnxx−1+12+ln1−xx=1,即可證明f(x)圖象關(guān)于點(12,12)中心對稱;
(Ⅱ)利用倒序相加法,求Sn;
(Ⅲ)lnSn+2-lnSn+1>1n2-1n3等價于ln(1+1n)>1n2-1n3,構(gòu)造 函數(shù),即可證明.
解答 (Ⅰ)證明:f(x)+f(1-x)=12+lnxx−1+12+ln1−xx=1
所以f(x)圖象關(guān)于點(12,12)中心對稱 …(2分)
(Ⅱ)解:∵Sn=∑n−1i=1f(in)=f(1n)+f(2n)+…+f(n−1n)…①,
∴Sn=f(n−1n)+…+f(2n)+f(1n) …②
①+②,得2Sn=n-1,∴Sn=n−12n∈N*且n≥2 …(6分)
(Ⅲ)證明:當(dāng)n∈N*時,由(2)知lnSn+2-lnSn+1=ln(1+1n),
于是lnSn+2-lnSn+1>1n2-1n3等價于ln(1+1n)>1n2-1n3 …(7分)
令g(x)=x3-x2+ln(1+x),則g′(x)=3x3+(x−1)2x+1,
∴當(dāng)x∈[0,+∞)時,g'(x)>0,即函數(shù)g(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,又g(0)=0.
于是,當(dāng)x∈(0,+∞)時,恒有g(shù)(x)>g(0)=0,即x3-x2+ln(1+x)>0恒成立.
故當(dāng)x∈(0,+∞)時,有l(wèi)n(1+x)>x2-x3成立,
取x=1n∈(0,+∞),則有ln(1n+1)>1n2−1n3成立.…(12分)
點評 本題考查函數(shù)圖象的對稱性,考查不等式的證明,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | cos(x+3π16) | B. | cos(4x+3π16) | C. | cos4x | D. | cosx |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 若a∥α,a∥b,b?α,則b⊥α | B. | 若α∥β,β∥γ,則α∥γ | ||
C. | 若a⊥α,a⊥b,b?α,則b∥α | D. | 若α⊥γ,β∥γ,則α⊥β |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | (-∞,2) | B. | (0,1) | C. | (1,+∞) | D. | (2,+∞) |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 5√3 | B. | 4√3 | C. | 2√3 | D. | 4√2 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 0≤k≤3 | B. | k≥3 | C. | k≤0或k≥3 | D. | k≤0 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | y=(12)x | B. | y=cosx | C. | y=ln|x| | D. | y=1-x2 |
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