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6.已知函數(shù)f(x)=12+lnxx1
(Ⅰ)求證:f(x)圖象關(guān)于點(12,12)中心對稱;
(Ⅱ)定義Sn=n1i=1f(in)=f(1n)+f(2n)+…+f(n1n),其中n∈N*且n≥2,求Sn;
(Ⅲ)對于(Ⅱ)中的Sn,求證:對于任意n∈N*都有l(wèi)nSn+2-lnSn+11n2-1n3

分析 (Ⅰ)證明:f(x)+f(1-x)=12+lnxx1+12+ln1xx=1,即可證明f(x)圖象關(guān)于點(12,12)中心對稱;
(Ⅱ)利用倒序相加法,求Sn
(Ⅲ)lnSn+2-lnSn+11n2-1n3等價于ln(1+1n)>1n2-1n3,構(gòu)造 函數(shù),即可證明.

解答 (Ⅰ)證明:f(x)+f(1-x)=12+lnxx1+12+ln1xx=1
所以f(x)圖象關(guān)于點1212中心對稱                 …(2分)
(Ⅱ)解:∵Sn=n1i=1f(in)=f(1n)+f(2n)+…+f(n1n)…①,
∴Sn=f(n1n)+…+f(2n)+f(1n)  …②
①+②,得2Sn=n-1,∴Sn=n12n∈N*且n≥2       …(6分)
(Ⅲ)證明:當(dāng)n∈N*時,由(2)知lnSn+2-lnSn+1=ln(1+1n),
于是lnSn+2-lnSn+11n2-1n3等價于ln(1+1n)>1n2-1n3             …(7分)
令g(x)=x3-x2+ln(1+x),則gx=3x3+x12x+1,
∴當(dāng)x∈[0,+∞)時,g'(x)>0,即函數(shù)g(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,又g(0)=0.
于是,當(dāng)x∈(0,+∞)時,恒有g(shù)(x)>g(0)=0,即x3-x2+ln(1+x)>0恒成立.
故當(dāng)x∈(0,+∞)時,有l(wèi)n(1+x)>x2-x3成立,
x=1n0+,則有ln1n+11n21n3成立.…(12分)

點評 本題考查函數(shù)圖象的對稱性,考查不等式的證明,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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