Question

設(shè)曲線y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）在點（1，1）處的切線與x軸的交點的橫坐標(biāo)為x_n，令a_n=lgx_n，則a₁+a₂+…+a₉₉的值為（　�。�

Answer 1

分析：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線的斜率，利用點斜式可得切線的方程，進而得到x_n、a_n，再利用“裂項求和”即可得出．

解答：解：∵y′=（n+1）xⁿ，∴曲線y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）在點（1，1）處的切線的斜率為y′|_x=1=n+1．
∴切線方程為y-1=（n+1）（x-1），令y=0，得x_n=1-

1

n+1

=

n

n+1

．
∴a_n=lgx_n=lg

n

n+1

=lgn-lg（n+1），
∴a₁+a₂+…+a₉₉=（lg1-lg2）+（lg2-lg3）+…+（lg99-lg100）
=lg1-lg100
=-2．
故選B．

點評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、切線的方程、“裂項求和”，屬于基礎(chǔ)題．