【題目】設(shè)a,b是不相等的兩個正數(shù),且blna﹣alnb=a﹣b,給出下列結(jié)論:①a+b﹣ab>1;②a+b>2;③ + >2.其中所有正確結(jié)論的序號是(
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③

【答案】D
【解析】解:①由blna﹣alnb=a﹣b,得blna+b=alnb+a,即 = ,

設(shè)f(x)= ,x>0,

則f′(x)=﹣ =,

由f′(x)>0得﹣lnx>0,得lnx<0,得0<x<1,

由f′(x)<0得﹣lnx<0,得lnx>0,得x>1,

即當(dāng)x=1時,函數(shù)f(x)取得極大值,

= ,等價為f(a)=f(b),

則a,b一個大于1,一個小于1,

不妨設(shè)0<a<1,b>1.

則a+b﹣ab>1等價為(a﹣1)(1﹣b)>0,

∵0<a<1,b>1.∴(a﹣1)(1﹣b)>0,則a+b﹣ab>1成立,故①正確,

②由即 =

= ,

由對數(shù)平均不等式得 =

即lna+lnb>0,即lnab>0,

則ab>1,

由均值不等式得a+b>2,故②正確,

③令g(x)=﹣xlnx+x,則g′(x)=﹣lnx,

則由g′(x)>0得﹣lnx>0,得lnx<0,得0<x<1,此時g(x)為增函數(shù),

由g′(x)<0得﹣lnx<0,得lnx>0,得x>1,此時g(x)為減函數(shù),

再令h(x)=g(x)﹣g(2﹣x),0<x<1,

則h′(x)=g′(x)+g′(2﹣x)=﹣lnx﹣lm(2﹣x)=﹣ln[x(2﹣x)]>0,

則h(x)=g(x)﹣g(2﹣x),在0<x<1上為增函數(shù),

則h(x)=g(x)﹣g(2﹣x)<h(1)=0,

則g(x)<g(2﹣x),

即g( )<g(2﹣ ),

∵g( )= ln = + lna= = ,

∴g( )=g(

則g( )=g( )<g(2﹣ ),

∵g(x)在0<x<1上為增函數(shù),

>2﹣ ,

+ >2.

故③正確,

故選:D

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C.7
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