Question

15．已知M為△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC}$．若點(diǎn)M在△ABC的內(nèi)部（不含邊界），則實(shí)數(shù)n的取值范圍是（0，$\frac{3}{4}$）．

Answer 1

分析 根據(jù)題意可作出圖形，將$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB}$，$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MC}$帶入$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC}$并進(jìn)行向量的數(shù)乘運(yùn)算便可以得出$\frac{1}{4}\overrightarrow{MB}=（\frac{3}{4}-n）\overrightarrow{AM}+n\overrightarrow{CM}$，這樣根據(jù)向量加法的平行四邊形法則及向量數(shù)乘的幾何意義便可得到$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{4}-n＞0}\\{n＞0}\end{array}\right.$，從而便可得出實(shí)數(shù)n的取值范圍．

解答 解：如圖，
由$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC}$得：$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{4}（\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB}）+n（\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MC}）$；
∴$（\frac{3}{4}-n）\overrightarrow{AM}=\frac{1}{4}\overrightarrow{MB}+n\overrightarrow{MC}$；
∴$\frac{1}{4}\overrightarrow{MB}=（\frac{3}{4}-n）\overrightarrow{AM}+n\overrightarrow{CM}$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{4}-n＞0}\\{n＞0}\end{array}\right.$；
∴$0＜n＜\frac{3}{4}$；
∴實(shí)數(shù)n的取值范圍是$（0，\frac{3}{4}）$．
故答案為：$（0，\frac{3}{4}）$．

點(diǎn)評 考查向量加法及數(shù)乘的幾何意義，向量的數(shù)乘運(yùn)算，以及向量加法的平行四邊形法則．