Question

（1）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，其中h是邊AB上的高，請同學們利用所學知識給出這個不等式：a+b≥

c2+4h2

的證明．
（2）在△ABC中，h是邊AB上的高，已知

cosB

sinB

+

cosA

sinA

=2，并且該三角形的周長是12；
①求證：c=2h；
②求此三角形面積的最大值．

Answer 1

考點：正弦定理,余弦定理

專題：解三角形

分析：（1）首先利用分析法進行證明，進一步利用正弦定理和余弦定理得證．
（2）進一步利用（1）的結(jié)論和三角的和與差的正弦公式轉(zhuǎn)換得以證明，最后利用三角形的面積求的結(jié)果．

解答： 證明：（1）（分析法）要證明：a+b≥

c2+4h2

，只需證明（a+b）²≥c²+4h²，利用余弦定理和正弦定理即證：
2ab+2abcosC≥4h2=4

a2b2sin2C

c2

即證1+cosC≥

2absin2C

c2

=

2ab(1+cosC)(1-cosC)

c2

由于1+cosC＞0
即證c²≥2ab（1-cosC）=2ab-a²-b²+c²
完全平方式成立得以證明．
（2）①在△ABC中，h是邊AB上的高，已知

cosB

sinB

+

cosA

sinA

=2
則：

cosB

sinB

+

cosA

sinA

=

sinC

sinBsinA

=2
利用正弦定理得：c=2asinB=2h
②該三角形的周長是12
則：利用（1）的結(jié)論12-2h≥

c2+4h2

=2

2

h
解得：h≤6

2

-6
進一步利用三角形面積公式求得：
S≤108-72

2

Smax=108-72

2

．

點評：本題考查的知識點：余弦定理及正弦定理的應(yīng)用，三角形面積公式，及相關(guān)的運算問題．