Question

19．若二項式（3x-$\frac{1}{\root{3}{x}}$）ⁿ的展開式中各項系數之和為256．
（1）求展開式中二項式系數最大的項；
（2）求展開式中的常數項．

Answer 1

分析 （1）根據二項式展開式中各項系數和求出n的值，再計算展開式中二項式系數的最大項；
（2）利用二項展開式的通項公式，即可求出展開式的常數項．

解答 解：（1）因為二項式（3x-$\frac{1}{\root{3}{x}}$）ⁿ的展開式中各項系數之和為256，
所以（3-1）ⁿ=256，
解得n=8；…（3分）
則該展開式中共有9項，第5項系數最大；
二項式系數最大項為T₅=${C}_{8}^{4}$•（3x）^8-4•${（\root{3}{x}）}^{4}$=5670${x}^{\frac{8}{3}}$；…（6分）
（2）二項展開式的通項公式為
T_r+1=${C}_{8}^{r}$•（3x）^8-r•${（\root{3}{x}）}^{r}$=${C}_{8}^{r}$•3^8-r•${x}^{8-\frac{4}{3}r}$，
令8-$\frac{4}{3}$r=0，解得r=6；…（10分）
因此展開式的常數項為
T₇=${C}_{8}^{6}$•3^8-6=252．…（12分）

點評 本題考查了二項式展開式中各項系數和以及展開式中二項式系數、通項公式的應用問題，是基礎題目．