Question

已知等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a_n是S_n與2的等差中項(xiàng)，等差數(shù)列{b_n}中，b₁=2，點(diǎn)P（b_n，b_n+1）在直線y=x+2上；
（Ⅰ）求a₁和a₂的值；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)a_n和b_n；
（Ⅲ）設(shè)c_n=a_n•b_n，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（I）由于a_n是S_n與2的等差中項(xiàng)，可得2a_n=S_n+2，分別令n=1，2即可得出a₁，a₂；
（II）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，則q=

a2

a1

=

4

2

=2，利用通項(xiàng)公式an=a1qn-1即可得出；由于點(diǎn)P（b_n，b_n+1）在直線y=x+2上，可得b_n+1=b_n+2，即b_n+1-b_n=2，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式就看得出．
（III）cn=anbn=2n•2n=n•2n+1，利用“錯(cuò)位相減法”即可得出．

解答：解：（I）∵a_n是S_n與2的等差中項(xiàng)，∴2a_n=S_n+2，
當(dāng)n=1時(shí)，2a₁=a₁+2，解得a₁=2；
當(dāng)n=2時(shí)，2a₂=a₁+a₂+2，∴a₂=2+2=4．
（II）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，則q=

a2

a1

=

4

2

=2，
∴an=a1qn-1=2×2^n-1=2ⁿ．
∵點(diǎn)P（b_n，b_n+1）在直線y=x+2上，
∴b_n+1=b_n+2，即b_n+1-b_n=2；
∴b_n=2+（n-1）×2=2n．
（III）cn=anbn=2n•2n=n•2n+1，
∴T_n=1•2²+2•2³+…+n•2ⁿ⁺¹，
2T_n=1•2³+2•2⁴+…+（n-1）•2ⁿ⁺¹+n•2ⁿ⁺²，
∴-T_n=2²+2³+…+2ⁿ⁺¹-n•2ⁿ⁺²=

4(2n-1)

2-1

-n•2ⁿ⁺²=2ⁿ⁺²-4-n•2ⁿ⁺²=（1-n）•2ⁿ⁺²-4，
∴Tn=(n-1)•2n+2+4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式、“錯(cuò)位相減法”等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于難題．