Question

已知，．

（1）設(shè)，求函數(shù)的圖像在處的切線方程；

（2）求證：對任意的恒成立；

（3）若，且，求證：．

 

Answer 1

（1）；（2）詳見解析；（3）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）先求導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，切線斜率為，利用直線的點斜式方程可求；（2）構(gòu)造函數(shù)，只需證明函數(shù)的最小值大于等于0即可，先求導(dǎo)得，，因?qū)��?shù)等于0的根不易求出，再求導(dǎo)得，，可判斷，故遞增，且，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增 ∴得證；（3）結(jié)合已知條件或已經(jīng)得到的結(jié)論，得證明或判斷的條件，是構(gòu)造法求解問題的關(guān)鍵，由（2）知，依次將代數(shù)式放大，圍繞目標(biāo)從而證明不等式.

試題解析：（1），，則 ，∴圖像在處的切線方程為即 3分

（2）令， 4分

則

∵與同號 ∴ ∴

∴ ∴在單調(diào)遞增 6分

又，∴當(dāng)時，；當(dāng)時，

∴在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增 ∴

∴ 即對任意的恒成立 8分

（3）由（2）知 9分

則

11分

由柯西不等式得

∴ 13分

同理

三個不等式相加即得證。 14分

考點：1、導(dǎo)數(shù)的幾何意義；2、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最值；3、柯西不等式.