Question

12．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，的離心率e=2，若過雙曲線右焦點(diǎn)且與漸近線平行的直線與圓x²+y²+4x=8相切，則雙曲線的方程為（　�。�

• A． x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{6}$=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{3}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1
• D． $\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1

Answer 1

分析 運(yùn)用離心率公式可得c=2a，求得圓的圓心和半徑，由漸近線方程可得平行直線的方程，再由直線和圓相切的條件，可得2b+bc=2$\sqrt{3}$c，又a²+b²=c²，解方程可得a，b，進(jìn)而得到雙曲線的方程．

解答 解：由題意可得e=$\frac{c}{a}$=2，
圓x²+y²+4x=8的圓心為（-2，0），半徑為2$\sqrt{3}$，
由右焦點(diǎn)為（c，0），
由漸近線方程y=$\frac{a}$x，
可得過雙曲線右焦點(diǎn)且與漸近線平行的直線為y=$\frac{a}$（x-c），
即為bx-ay-bc=0，
由直線和圓相切的條件，可得$\frac{|-2b-0-bc|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=2$\sqrt{3}$，
即有2b+bc=2$\sqrt{3}$c，
又a²+b²=c²，
解得a=1，b=$\sqrt{3}$，c=2，
即有橢圓的方程為x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程的求法，注意運(yùn)用離心率公式和直線與圓相切的條件：d=r，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．