Question

已知橢圓C₁的方程為，雙曲線C₂的左、右焦點(diǎn)分別是C₁的左、右頂點(diǎn)，而C₂的左、右頂點(diǎn)分別是C₁的左、右焦點(diǎn)．
（1）求雙曲線C₂的方程；
（2）若直線與雙曲線C₂恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B，且（其中O為原點(diǎn)），求k的范圍．
（3）試根據(jù)軌跡C₂和直線l，設(shè)計(jì)一個(gè)與x軸上某點(diǎn)有關(guān)的三角形形狀問(wèn)題，并予以解答（本題將根據(jù)所設(shè)計(jì)的問(wèn)題思維層次評(píng)分）．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)雙曲線C₂的方程為，則a²=4-1=3，再由a²+b²=c²得b²=1，由此能求出故C₂的方程．
（2）將代入得．由直線l與雙曲線C₂交于不同的兩點(diǎn)得：，由此能求出k的取值范圍．
（3）若x軸上存在點(diǎn)P（m，0），使△APB是以AB為底邊的等腰三角形，求m的取值范圍．
當(dāng)k=0時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），即m=0；當(dāng)k≠0時(shí)，設(shè)線段AB的中點(diǎn)M（x，y），線段AB的中垂線方程為，令y=0，得，由此能求出m的范圍．
解答：解：（1）設(shè)雙曲線C₂的方程為，
則a²=4-1=3，再由a²+b²=c²得b²=1，故C₂的方程為
（2）將代入得
由直線l與雙曲線C₂交于不同的兩點(diǎn)得：∴且k²＜1…①A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則∴=
又∵，得x₁x₂+y₁y₂＞2，∴
即，解得：②，故k的取值范圍為．
（3）若x軸上存在點(diǎn)P（m，0），使△APB是以AB為底邊的等腰三角形，求m的取值范圍．
解：顯然，當(dāng)k=0時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），即m=0；
當(dāng)k≠0時(shí)，設(shè)線段AB的中點(diǎn)M（x，y），
由（2）知
于是，線段AB的中垂線方程為，令y=0，得，由①知，
∴，∴m∈R，且m≠0．
綜上所述，m∈R．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線與雙曲線的位置關(guān)系，雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．