Question

6．已知圓C的圓心為C（m，0），m＜3，半徑為$\sqrt{5}$，圓C與離心率$e＞\frac{1}{2}$的橢圓$E：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的其中一個(gè)公共點(diǎn)為A（3，1），F(xiàn)₁、F₂分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)．
（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，4），試探究直線PF₁與圓C能否相切，若能，求出橢圓E和直線PF₁的方程；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知可設(shè)圓C的方程為（x-m）²+y²=5（m＜3），將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入圓C的方程，得（3-m）²+1=5．由此能求出圓C的方程．
（2）直線PF₁能與圓C相切，設(shè)直線PF₁的方程為y=k（x-4）+4，利用直線PF₁與圓C相切，求出k，再分別驗(yàn)證，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）由已知可設(shè)圓C的方程為（x-m）²+y²=5（m＜3），
將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入圓C的方程，得（3-m）²+1=5，即（3-m）²=4，
解得m=1或m=5，∵m＜3，∴m=1．∴圓C的方程為（x-1）²+y²=5．
（2）直線PF₁與圓C相切，依題意設(shè)直線PF₁的方程為y=k（x-4）+4，
即kx-y-4k+4=0，
若直線PF₁與圓C相切，則$\frac{{|{k-0-4k+4}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\sqrt{5}$．
∴4k²-24k+11=0，解得$k=\frac{11}{2}$或$k=\frac{1}{2}$．
當(dāng)$k=\frac{11}{2}$時(shí)，直線PF₁與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為$\frac{36}{11}$，不合題意，舍去．
當(dāng)$k=\frac{1}{2}$時(shí)，直線PF₁與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為-4，∴c=4，F(xiàn)₁（-4，0），F(xiàn)₂（4，0）．
∴由橢圓的定義得2a=$\sqrt{（3+4）^{2}+{1}^{2}}$+$\sqrt{（3-4）^{2}+{1}^{2}}$=6$\sqrt{2}$，
∴a=3$\sqrt{2}$，∴e=$\frac{4}{3\sqrt{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$＞$\frac{1}{2}$，故直線PF₁與圓C能相切．
∴直線PF₁的方程為x-2y+4=0，橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{18}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，直線與圓相切性質(zhì)的應(yīng)用及橢圓定義的應(yīng)用，點(diǎn)到直線的距離公式的運(yùn)用，試題具有一定綜合性．