設(shè)函數(shù)f(x)=ax3-2bx2+cx+4d,(a,b,c,d∈R)的圖象關(guān)于原點對稱,且x=1時,f(x)取極小值-
1
3

(Ⅰ)求a,b,c,d的值;
(Ⅱ)當(dāng)x∈[-1,1]時,圖象上是否存在兩點,使兩點處的切線互相垂直?試證明你的結(jié)論;
(Ⅲ)若x1,x2∈[-1,1],求證:|f(x1)-f(x2)|≤
4
3
分析:(1)根據(jù)奇偶性判斷bd的值,再有在1處的極值求出a.
(2)用假設(shè)法證明,假設(shè)存在兩點,在得出結(jié)果與假設(shè)矛盾.
(3)函數(shù)在1和-1處取代極值,判斷其為最值,根據(jù)兩最值之差最大,證明問題.
解答:(I)解:因為圖象關(guān)于原點對稱,所以f(x)為奇函數(shù),所以b=0,d=0
所以f(x)=ax3+cx,因此f'(x)=3ax2+c
由題意得
f(1)=a+c=-
1
3
f′(1)=3a+c=0
,
解得a=
1
6
,c=-
1
2

(II)不存在.
證明:假設(shè)存在x1,x2,則f'(x1)•f'(x2)=-1
所以(x12-1)(x22-1)=-4
因為x1,x2∈[-1,1]所以x12-1,x22-1∈[-1,0]
因此(x12-1)(x22-1)≠-4
所以不存在.
(III)證明:f′(x)=
1
2
x2-
1
2

f′(x)=
1
2
x2-
1
2
=0得x=±1fmin(x)=f(1)=-
1
3
,fmax(x)=f(-1)=
1
3

所以|f(x1)-f(x2)|≤fmax(x)-fmin(x)=f(-1)-f(1)=
2
3
4
3
點評:該題考查函數(shù)奇偶性對應(yīng)的奇數(shù)次項系數(shù)的值以及偶數(shù)次項系數(shù)的值,考查反正發(fā)的使用,考查兩數(shù)之間最值之差最大,為中等題,
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xx-1
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12
)的值.

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-1
-1

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x
-
1
x
)n
,其中n=3
π
sin(π+x)dx,a為如圖所示的程序框圖中輸出的結(jié)果,則f(x)的展開式中常數(shù)項是( 。
A、-
5
2
B、-160
C、160
D、20

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