Question

10．等腰△ABC的頂角A=$\frac{2π}{3}$，|BC|=2$\sqrt{3}$，以A為圓心，1為半徑作圓，PQ為該圓的一條直徑，則$\overrightarrow{BP}$•$\overrightarrow{CQ}$的最大值為$2\sqrt{3}-3$．

Answer 1

分析 利用平面向量的三角形法則，將$\overrightarrow{BP}$，$\overrightarrow{CQ}$分別AP，AC，AB對應(yīng)的向量表示，進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算，得到關(guān)于$\overrightarrow{AP}，\overrightarrow{CB}$夾角θ的余弦函數(shù)解析式，借助于有界性求最值即可．

解答 解：如圖：由已知$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{CQ}=（{\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AP}}）•（{\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{AP}}）=\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AP}•（{\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{BA}}）-{\overrightarrow{AP}^2}$
=$2×2×（-\frac{1}{2}）+\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{CB}-1$
=$-2+2\sqrt{3}cosθ-1≤2\sqrt{3}-3$；
故答案為：$2\sqrt{3}-3$．

點(diǎn)評 本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，借助于余弦函數(shù)的有界性求最值；屬于中檔題．